Non capisco questa formula di rodriguez

[Bucky1]

non sono riuscito a trovare in rete qualche documento che mi spieghi (semplicemente ma senza essere banale od incompleto) la formula di Rodriguez.


ora mi trovo di fronte a questa e non riesco a capire "da dove venga"...

1)mi piacerebbe capire i passaggi matematici che hanno portato a questa.
2) ha qualcosa a che fare con i quaternioni?


a1 = (a0 − s0) · cos(g) + u × (a0 − s0) · sin(g) +(a0 − s0) · u · (1 − cos(g) ) · u + s0

(Scusatem non ho capito come fare a scrivere le formule con l'editor, se vorrete postarmi un link a riguardo vi ringraziero')

· = prodotto scalare
x = prodotto vettoriale

il vettore a0 e' trasformato in a1 attraverso una rotazione di un angolo g attorno un asse definito dal punto s0 e dal vettore unitario u

[apatriarca]

Non richiede i quaternioni.

I punti $a_0$, $a_1$ e $s_0$ sono contenuti in un piano con normale $u$. Consideriamo quindi due vettori $v$ e $w$ contenuti nel piano in modo tale che $\{u,v,w\}$ sia una base ortogonale di $R^3$. Prendiamo $v = a_0 - s_0$ e $w = u \times v$. $||v|| = ||w||$ e quindi $s0 + cos(\alpha)v + sin(\alpha)w$ è l'equazione di una circonferenza che passa per il punto $a_0$ e il punto con $\alpha = g$ è $a_0$ ruotato di un angolo $g$ intorno all'asse passante per $s_0$ e con direzione $u$.

In effetti alla fine la formula non mi viene uguale alla tua...

EDIT: Che stupido... In effetti ho dato per scontato che $a_0 - s_0$ fosse perpendicolare a $u$ ma non è detto...

[apatriarca]

Il problema dello scorso post era che $s_0$ non apparteneva al piano passante per $a_0$ e $a_1$ e con normale $u$.
Supponiamo che $v$ e $w$ siano vettori definiti come nello scorso post. Definisco quindi i seguenti:

$\bar s_0 = s_0 + \text{proj}_u v = s_0 + (u*v)u$
$\bar v = v - \text{proj}_u v = v - (u*v)u$
$\bar w = u \times \bar v = u \times (v - (u*v)u) = u \times v = w$

A questo punto $\bar s_0$ appartiene al piano passante per $a_0$ e $a_1$ e con normale $u$. $\bar v$ e $w$ sono due vettori perpendicolari a $u$ e della stessa lunghezza e quindi $\bar s_0 + cos(\alpha)\bar v + sin(\alpha)w$ è l'equazione della circonferenza che ci interessa per trovare $a_1$. Sostituendo otteniamo
$s_0 + (u*v)u + cos(\alpha)(v - (u*v)u) + sin(\alpha)w = s_0 + (u*v)(1 - cos(\alpha))u + cos(alpha)v + sin(alpha)w$
che è esattamente la formula di Rodriguez

Scusa per l'errore nel post precedente.