Dubbio su una topologia

[serway2]

Sia $\tau={UsubRR : Unn]-oo,0[in\tau_0}$
Dimostrare che la funzione $f:(RR,\tau)\to(RR,\tau)$ tale che $f(x)={(-1, x<0),( 1, x>=0):}$ è continua.

qualcuno saprebbe darmi qualche indicazione per dimostrarlo? approposito si capisce subito che la topologia euclidea è strettamente meno fine di questa topologia.

[serway2]

Vi spiego un'idea che mi è venuta per poterlo dimostrare.
Per dimostrarlo mi è venuto in mente il teorema sulle restrizioni, cioè prendiamo un ricorpimento aperto di $RR$, cioè $RR=uuu_{n>0} ]-oo,-n[uu[0,+oo[$. Il teorema dice che se dimostriamo che la f ristretta agli $U_i$ (che in questo caso sono $]-oo,-n[, [0,+oo[$) è continua, allora la funzione f di partenza è continua.
Questa proprietà è verificata perchè le restrizioni considerate sono funzioni costanti e quindi continue. Però secondo me c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento, mi potreste dire voi se è giusto o sbagliato e se fosse sbagliato, trovare un'altro modo?

[dissonance]

L'idea è giusta, si tratta però di verificare se $(-infty, 0), [0, infty)$ sono aperti (oppure chiusi) della topologia $tau$. Mi pare che sia vero questo, però controlla perché potrei facilmente sbagliarmi.

[serway2]

tranquillo dissonance, ho scelto quel ricorpimento apposta, proprio perchè sapevo che $(-oo,0), [0,+oo)$ erano aperti della topologia