Autovalori di $A^2$
Problema: Sia $A \in CC^(n,n)$. Supponiamo che $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_k$ siano tutti gli autovalori di A. Dimostrare che allora $\lambda_1^2,...,\lambda_k^2$ sono tutti gli autovalori di $A^2=AA$. Dimostrare che inoltre se $\lambda_i$ ha molteplicità algebrica $m_1$ allora $\lambda_i^2$ ha molteplicità $m_i$ se $-\lambda_i$ non è un autovalore di $A$; dimostrare che altrimenti $\lambda_i^2$ ha molteplicità algebrica $m_1 + m_2$ se $-\lambda_i$ è un autovalore di $A$ con molteplicità $m_2$.
Credo di aver trovato una dimostrazione di questo risultato, ma non ne sono troppo sicuro. Qualcuno ha idee? Eventualmente poi posso provare a postare la mia soluzione...
Credo di aver trovato una dimostrazione di questo risultato, ma non ne sono troppo sicuro. Qualcuno ha idee? Eventualmente poi posso provare a postare la mia soluzione...
Risposte
Posta la tua e vediamo... Qui giochiamo a carte scoperte. 
Ok, allora posto la mia soluzione. E' un po' lunga...
Faccio solo una precisazione sulla simbologia che ho adottato: dal momento che utilizzerò i polinomi caratteristici di $A^2$ e di $A$, per distinguerli ho deciso di impiegare il simbolo $p_(A^2)(\lambda)$ per indicare il polinomio caratteristico di $A^2$ e $p_A(\lambda)$ per indicare il polinomio caratteristio di $A$.
Inoltre mi scuso, ma non sono riuscito a trovare il codice latex per il simbolo di non divisibilità. Dove non ho potuto farne a meno ho impiegato la notazione $not|$. Se mi dite come si scrive, provvederò subito a modificare il testo.
Mostro che se $\lambda_i$ è un autovalore di $A$ allora $\lambda_i^2$ è un autovalore di $A^2$. Consideriamo l'endomorfismo $f: C^n \to C^n$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica sia $A$. Sia $\lambda_i$ un autovalore generico di $A$ e sia $\vec x$ un autovettore relativo. Allora si ha che $f[f(\vec x)]=f[\lambda_i \vec x]=\lambda_i f(\vec x) = \lambda_i^2 \vec x$ e quindi $\lambda_i^2$ è un autovalore di $A^2$.
Supponiamo ora che $\mu_j$ sia un autovalore di $A^2$. Allora $p_(A^2)(\mu_j) = 0$. D'altra parte si ha $p_(A^2)(\mu_j) = det(A^2 - \mu_j I_n) = det(A+sqrt(\mu_j)I_n)det(A-sqrt(\mu_j)I_n)=p_A(sqrt(\mu_j))p_A(-sqrt(\mu_j))=0$. Per la legge di annullamento del prodotto allora o $p_A(sqrt(\mu_j)) = 0$ oppure $p_A(sqrt(\mu_j)) = 0$ e quindi o $sqrt(\mu_j)$ o $-sqrt(\mu_j)$ è un autovalore della matrice $A^2$.
Quindi la prima parte del teorema è dimostrata.
Dimostro ora la parte riguardo la molteplicità. Sia $\lambda_i$ un autovalore di $A$ di molteplicità $m_1$; sia $m_2$ la molteplicità di $-\lambda_i$ (ammettendo $m_2 = 0$ se $-\lambda_i$ non è un autovalore di $A$). Allora per definizione di molteplicità $(\lambda - \lambda_i)^(m_1) | p_A(\lambda)$ e $(\lambda - \lambda_i)^(m_1+1) not| p_A(\lambda)$. D'altra parte $(\lambda + \lambda_i)^(m_2) | p_A(\lambda)$ e $(\lambda + \lambda_i)^(m_2 + 1) not| p_A(\lambda)$.
Allora operando nella prima relazione che ho riportato la sostituzione $\lambda = -x$ ottengo $(-x - \lambda_i)^(m_1) | p_A(-x) iff (-1)^(m_1)(x+\lambda_i)^(m_1) | p_A(-x) iff (x+\lambda_i)^(m_1) | p_A(-x).
Operando nella terza relazione la sostituzione $\lambda = x$ (consentita perché cambio solo di nome le variabili) ottengo che $(x + \lambda_i)^(m_2) | p_A(x)$.
Combinando insieme le due relazioni che ho trovato ottengo $(x+\lambda_i)^(m_1)(x+\lambda_i)^(m_2) | p_A(x)p_A(-x) iff (x+\lambda_i)^(m_1+m_2) | p_A(x)p_A(-x)$. Ora osservo che $p_A(x)p_A(-x) = det(A-xI_n)det(A+xI_n) = det(A^2 - x^2I_n) = p_(A^2)(x^2).
Tornando alla terza relazione ed operando la sostituzione $\lambda = -x$ ottengo che $(-x + \lambda_i)^(m_2) | p_A(-x) iff (-1)^(m_2)(x-\lambda_i)^(m_2) | p_A(-x)$. D'altronde dalla prima relazione con la sostituzione $\lambda = x$ ottengo anche $(x-\lambda_i)^(m_1) | p_A(x)$. Combinando allora insieme queste ultime due relazioni ottenute ricavo che $(x-\lambda_i)^(m_1)(x-\lambda_i)^(m_2) = (x-\lambda_i)^(m_1+m_2) | p_A(x)p_A(-x) = p_(A^2)(x^2).
Ora osservo che $(x - \lambda_i)^(m_1+m_2)$ e $(x+\lambda_i)^(m_1+m_2)$ non hanno fattori in comune, ed entrambi dividono il polinomio $p_(A^2)(x^2)$. Allora anche il loro prodotto dividerà lo stesso polinomio, ossia $(x-\lambda_i)^(m_1+m_2)(x+\lambda_i)^(m_1+m_2) = (x^2 - \lambda_i^2) | p_A(x^2)$. Quindi la molteplicità algebrica di $\lambda_i^2$ è limitata inferiormente dal numero $m_1+m_2$.
Supponiamo ora per assurdo che $(x^2 - \lambda_i^2)^(m_1+m_2+1) | p_(A^2)(x^2)$. Questo è vero se e solo se $(x-\lambda_i)^(m_1+m_2+1)(x+\lambda_i)^(m_1+m_2+1) | p_A(x)p_A(-x)$, che a sua volta implica che $(x+\lambda_i)^(m_1+m_2+1) | p_A(x)p_A(-x)$. Tuttavia per ipotesi $(x+\lambda_i)^(m_1+m_2+1)$ non divide $p_A(x)$. Dal momento che $(x+\lambda_i)^(m_2) | p_A(x)$ l'unica possibilità è che $(x+\lambda_i)^(m_1+1)|p_A(-x)$. Ma, operando la sostituzione $x = -t$ ottengo che quanto detto equivale a chiedere che $(-t+\lambda_i)^(m_1+1) | p_A(t) iff (-1)^(m_1+1)(t-\lambda_i)^(m_1+1) | p_A(t) iff (t-\lambda_i)^(m_1+1) | p_A(t)$ e questo è assurdo per l'ipotesi assunta. Segue la tesi.
Che cosa ne pensate?
Faccio solo una precisazione sulla simbologia che ho adottato: dal momento che utilizzerò i polinomi caratteristici di $A^2$ e di $A$, per distinguerli ho deciso di impiegare il simbolo $p_(A^2)(\lambda)$ per indicare il polinomio caratteristico di $A^2$ e $p_A(\lambda)$ per indicare il polinomio caratteristio di $A$.
Inoltre mi scuso, ma non sono riuscito a trovare il codice latex per il simbolo di non divisibilità. Dove non ho potuto farne a meno ho impiegato la notazione $not|$. Se mi dite come si scrive, provvederò subito a modificare il testo.
Mostro che se $\lambda_i$ è un autovalore di $A$ allora $\lambda_i^2$ è un autovalore di $A^2$. Consideriamo l'endomorfismo $f: C^n \to C^n$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica sia $A$. Sia $\lambda_i$ un autovalore generico di $A$ e sia $\vec x$ un autovettore relativo. Allora si ha che $f[f(\vec x)]=f[\lambda_i \vec x]=\lambda_i f(\vec x) = \lambda_i^2 \vec x$ e quindi $\lambda_i^2$ è un autovalore di $A^2$.
Supponiamo ora che $\mu_j$ sia un autovalore di $A^2$. Allora $p_(A^2)(\mu_j) = 0$. D'altra parte si ha $p_(A^2)(\mu_j) = det(A^2 - \mu_j I_n) = det(A+sqrt(\mu_j)I_n)det(A-sqrt(\mu_j)I_n)=p_A(sqrt(\mu_j))p_A(-sqrt(\mu_j))=0$. Per la legge di annullamento del prodotto allora o $p_A(sqrt(\mu_j)) = 0$ oppure $p_A(sqrt(\mu_j)) = 0$ e quindi o $sqrt(\mu_j)$ o $-sqrt(\mu_j)$ è un autovalore della matrice $A^2$.
Quindi la prima parte del teorema è dimostrata.
Dimostro ora la parte riguardo la molteplicità. Sia $\lambda_i$ un autovalore di $A$ di molteplicità $m_1$; sia $m_2$ la molteplicità di $-\lambda_i$ (ammettendo $m_2 = 0$ se $-\lambda_i$ non è un autovalore di $A$). Allora per definizione di molteplicità $(\lambda - \lambda_i)^(m_1) | p_A(\lambda)$ e $(\lambda - \lambda_i)^(m_1+1) not| p_A(\lambda)$. D'altra parte $(\lambda + \lambda_i)^(m_2) | p_A(\lambda)$ e $(\lambda + \lambda_i)^(m_2 + 1) not| p_A(\lambda)$.
Allora operando nella prima relazione che ho riportato la sostituzione $\lambda = -x$ ottengo $(-x - \lambda_i)^(m_1) | p_A(-x) iff (-1)^(m_1)(x+\lambda_i)^(m_1) | p_A(-x) iff (x+\lambda_i)^(m_1) | p_A(-x).
Operando nella terza relazione la sostituzione $\lambda = x$ (consentita perché cambio solo di nome le variabili) ottengo che $(x + \lambda_i)^(m_2) | p_A(x)$.
Combinando insieme le due relazioni che ho trovato ottengo $(x+\lambda_i)^(m_1)(x+\lambda_i)^(m_2) | p_A(x)p_A(-x) iff (x+\lambda_i)^(m_1+m_2) | p_A(x)p_A(-x)$. Ora osservo che $p_A(x)p_A(-x) = det(A-xI_n)det(A+xI_n) = det(A^2 - x^2I_n) = p_(A^2)(x^2).
Tornando alla terza relazione ed operando la sostituzione $\lambda = -x$ ottengo che $(-x + \lambda_i)^(m_2) | p_A(-x) iff (-1)^(m_2)(x-\lambda_i)^(m_2) | p_A(-x)$. D'altronde dalla prima relazione con la sostituzione $\lambda = x$ ottengo anche $(x-\lambda_i)^(m_1) | p_A(x)$. Combinando allora insieme queste ultime due relazioni ottenute ricavo che $(x-\lambda_i)^(m_1)(x-\lambda_i)^(m_2) = (x-\lambda_i)^(m_1+m_2) | p_A(x)p_A(-x) = p_(A^2)(x^2).
Ora osservo che $(x - \lambda_i)^(m_1+m_2)$ e $(x+\lambda_i)^(m_1+m_2)$ non hanno fattori in comune, ed entrambi dividono il polinomio $p_(A^2)(x^2)$. Allora anche il loro prodotto dividerà lo stesso polinomio, ossia $(x-\lambda_i)^(m_1+m_2)(x+\lambda_i)^(m_1+m_2) = (x^2 - \lambda_i^2) | p_A(x^2)$. Quindi la molteplicità algebrica di $\lambda_i^2$ è limitata inferiormente dal numero $m_1+m_2$.
Supponiamo ora per assurdo che $(x^2 - \lambda_i^2)^(m_1+m_2+1) | p_(A^2)(x^2)$. Questo è vero se e solo se $(x-\lambda_i)^(m_1+m_2+1)(x+\lambda_i)^(m_1+m_2+1) | p_A(x)p_A(-x)$, che a sua volta implica che $(x+\lambda_i)^(m_1+m_2+1) | p_A(x)p_A(-x)$. Tuttavia per ipotesi $(x+\lambda_i)^(m_1+m_2+1)$ non divide $p_A(x)$. Dal momento che $(x+\lambda_i)^(m_2) | p_A(x)$ l'unica possibilità è che $(x+\lambda_i)^(m_1+1)|p_A(-x)$. Ma, operando la sostituzione $x = -t$ ottengo che quanto detto equivale a chiedere che $(-t+\lambda_i)^(m_1+1) | p_A(t) iff (-1)^(m_1+1)(t-\lambda_i)^(m_1+1) | p_A(t) iff (t-\lambda_i)^(m_1+1) | p_A(t)$ e questo è assurdo per l'ipotesi assunta. Segue la tesi.
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