[quasi risolto] trovare la comune perpend. a 2 rette sghembe
ho una retta A con punto di origine OA ed una retta B ad essa sghemba.
conoscendo le equazioni delle due rette come e' possibile trovare l'equazione di una terza retta C perpendicolare ad A e B, e la distanza di C da OA ?
grazie mille dell'attenzione
Alessandro
conoscendo le equazioni delle due rette come e' possibile trovare l'equazione di una terza retta C perpendicolare ad A e B, e la distanza di C da OA ?
grazie mille dell'attenzione
Alessandro
Risposte
Se hai l'equazione delle due rette $a $ e $b $ espresse in forma parametrica , e quindi del tipo
retta a ) $x=x_0+at ; y=y_0+bt;z=z_0+ct $ con $(a,b,c) $ parametri direttori della retta
e analogamente
retta b) $ x=x_0^{\prime}+a's ; y=y_0^{\prime}+b's ; z=z_0^{\prime} +c's $
considera un punto generico R sulla retta a di coordinate $(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct) $ e analogamente un punto generico S sulla retta b di coordinate $x_0'+a's,y_0'+b's,z_0'+c's )$.
Adesso calcola i parametri direttori della retta RS che saranno $( x_0+at-x_0'-a's ; y_0+bt-y_0'-b's; etc ) $
Imponi ora che la retta RS sia perpendicolare alle rette a et b : prodotti scalari dei parametri direttori nulli.
Otterrai due equazioni in due incognite $(t,s )$ .
Risolto il sistema avrai le coordinate di R e di S e ne calcoli la distanza.
retta a ) $x=x_0+at ; y=y_0+bt;z=z_0+ct $ con $(a,b,c) $ parametri direttori della retta
e analogamente
retta b) $ x=x_0^{\prime}+a's ; y=y_0^{\prime}+b's ; z=z_0^{\prime} +c's $
considera un punto generico R sulla retta a di coordinate $(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct) $ e analogamente un punto generico S sulla retta b di coordinate $x_0'+a's,y_0'+b's,z_0'+c's )$.
Adesso calcola i parametri direttori della retta RS che saranno $( x_0+at-x_0'-a's ; y_0+bt-y_0'-b's; etc ) $
Imponi ora che la retta RS sia perpendicolare alle rette a et b : prodotti scalari dei parametri direttori nulli.
Otterrai due equazioni in due incognite $(t,s )$ .
Risolto il sistema avrai le coordinate di R e di S e ne calcoli la distanza.
grazie mille della risposta! sto facendo il sistema a penna... poi lo dovro' implementare su un computer.
vorrei dargli gia' in pasto le equazioni in forma risolutiva: tu sai se sia meglio fargli fare molte addizioni piuttosto che poche divisioni/moltiplicazioni a livello di tempi di calcolo? ho bisogno di un algoritmo veloce...
puo' essere molto grosso l'errore se gli faccio calcolare subito il valore delle parentesi e poi faccio i calcoli con questi valori?
ora finisco di risolverlo cercando di eliminare tutte le divisioni e poi posto i risultati (anche per farmi dare un controllino... dato che sono una capra!
)
vorrei dargli gia' in pasto le equazioni in forma risolutiva: tu sai se sia meglio fargli fare molte addizioni piuttosto che poche divisioni/moltiplicazioni a livello di tempi di calcolo? ho bisogno di un algoritmo veloce...
puo' essere molto grosso l'errore se gli faccio calcolare subito il valore delle parentesi e poi faccio i calcoli con questi valori?
ora finisco di risolverlo cercando di eliminare tutte le divisioni e poi posto i risultati (anche per farmi dare un controllino... dato che sono una capra!
)
eccoci!
allora, dai due prodotti scalari mi viene
Dt - Es + F = 0
Et - Gs + H = 0
dove:
D = a^2 + b^2 + c^2
E = aa' + bb' + cc'
F = (x0 - x'0)*a + (y0 - y'0)*b + (z0 - z'0)*c
G = a'^2 + b'^2 + c'^2
H = (x0 - x'0)*a' + (y0 - y'0)*b' + (z0 - z'0)*c'
risolto il sistema mi viene:
t= EG/(DG-E^2) - E^2F/(D^2G) + EH/(DG) - F/D
s= DG/(DG-E^2) - EF/(DG) + H/G
(NOTA non c'e' un modo empirico di controllare la correttezza?)
e quindi e':
R= [x0 y0 z0]T + [a b c]T * t
S= [x'0 y'0 z'0]T + [a' b' c']T * s
una volta trovati questi
d = || R-S ||
ed il versore relativo
v= (R - S)/d
tutto giusto?
grazie mille, Camillo.
allora, dai due prodotti scalari mi viene
Dt - Es + F = 0
Et - Gs + H = 0
dove:
D = a^2 + b^2 + c^2
E = aa' + bb' + cc'
F = (x0 - x'0)*a + (y0 - y'0)*b + (z0 - z'0)*c
G = a'^2 + b'^2 + c'^2
H = (x0 - x'0)*a' + (y0 - y'0)*b' + (z0 - z'0)*c'
risolto il sistema mi viene:
t= EG/(DG-E^2) - E^2F/(D^2G) + EH/(DG) - F/D
s= DG/(DG-E^2) - EF/(DG) + H/G
(NOTA non c'e' un modo empirico di controllare la correttezza?)
e quindi e':
R= [x0 y0 z0]T + [a b c]T * t
S= [x'0 y'0 z'0]T + [a' b' c']T * s
una volta trovati questi
d = || R-S ||
ed il versore relativo
v= (R - S)/d
tutto giusto?
grazie mille, Camillo.
Verificare i tuoi conti è l'unica cosa corretta da fare ma è un po' onerosa.
Propongo allora un approccio pragmatico basato su un caso concreto .
Siano le due rette di equazione rispettivamente :
retta a) $x=t ;y=2t ;z= 1-3t $
retta b ) $ x= s ; y= 1-2s ; z=1-s $
Verifica con le tue formule se ottieni i rsultati corretti che sono
$t=1/7 ; s= 1/3 $
e quindi le coordinate sono
R=($1/7, 2/7, 4/7)$ ; S=$(1/3, 1/3,2/3 )$
e infine RS = $1/sqrt(21) $.
Propongo allora un approccio pragmatico basato su un caso concreto .
Siano le due rette di equazione rispettivamente :
retta a) $x=t ;y=2t ;z= 1-3t $
retta b ) $ x= s ; y= 1-2s ; z=1-s $
Verifica con le tue formule se ottieni i rsultati corretti che sono
$t=1/7 ; s= 1/3 $
e quindi le coordinate sono
R=($1/7, 2/7, 4/7)$ ; S=$(1/3, 1/3,2/3 )$
e infine RS = $1/sqrt(21) $.
difatti avevo sbagliato!
grazie al tuo esempio ho corretto.
le equazioni corrette "dovrebbero" a questo punto essere:
t=(EH-GF)/(DG-E^2)
s=(DH-EF)/(DG-E^2)
che sono molto più semplici, ma soprattutto molto simmetriche, il che mi convince molto a riguardo della correttezza!
sono anche sicuro che abbiano particolari significati geometrici per i valori che annullano numeratore e denominatore... ma non sono ancora riuscito a focalizzarli...
con numeratore nullo anche la variabile finale si annulla e quindi dovrebbe significare che il piede della perpendicolare è l'origine stessa della retta.
con denominatore nullo... mah... questa proprio non me la riesco ad immaginare...
grazie al tuo esempio ho corretto.
le equazioni corrette "dovrebbero" a questo punto essere:
t=(EH-GF)/(DG-E^2)
s=(DH-EF)/(DG-E^2)
che sono molto più semplici, ma soprattutto molto simmetriche, il che mi convince molto a riguardo della correttezza!
sono anche sicuro che abbiano particolari significati geometrici per i valori che annullano numeratore e denominatore... ma non sono ancora riuscito a focalizzarli...
con numeratore nullo anche la variabile finale si annulla e quindi dovrebbe significare che il piede della perpendicolare è l'origine stessa della retta.
con denominatore nullo... mah... questa proprio non me la riesco ad immaginare...
qualcuno puo' aiutarmi a capire i significati geometrici e analitici di questi casi degeneri?
"Bucky":
qualcuno puo' aiutarmi a capire i significati geometrici e analitici di questi casi degeneri?
proprio nessuno?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo