Piano proiettivo e proiettività
ciao a tutti sia $P^2$ il piano proiettivo reale con coordinate $[x_1:x_2:x_3]$. mi si chiede di determinare tutte le proiettività del piano che fissano punto per punto la retta di equazione $x_1=x_2$ e il punto $(1,0,0)$.
ora io non so da dove cominciare assolutmanete. mi sapreste dire in generale come si svolge o l'idea ?
grazie a tutti.
ora io non so da dove cominciare assolutmanete. mi sapreste dire in generale come si svolge o l'idea ?
grazie a tutti.
Risposte
non so se è il metodo standard per farlo però ti dico le mie idee (non sono sicurissimo che siano corrette lascio a te rifletterci 
):
Una proiettività di $mathbb{P}^2$ fissata una base (quella canonica per noi) è determinata a meno di una costante moltiplicativa da una matrice 3x3 invertibile: cominciamo ad imporre le nostre condizioni
osserviamo che le nostre proiettività fissano i punti $[0,0,1]$ e $[1,0,0]$ (il primo appartiene alla retta $r: x_1=x_2$)
quindi la matrice di trasformazione avrà la prima colonna $[mu,0,0]$ e la terza $[0,0,lambda]$ per opportuni $mu,lambda!=0$ e visto che è definita a meno di uno scalare fisso $mu=1$
$P=((1,a,0),(0,b,0),(0,c,lambda))$ una P del genere fissa per costruzione $[0,0,1]$ imponiamo che fissi un altro punto della retta r $[1,1,1]$:
$((1,a,0),(0,b,0),(0,c,lambda))\quad[(1),(1),(1)]=[1+a,b,c+lambda]=[k,k,k]$ per un opportuno k
quindi il sistema ${(1+a=k),(b=k),(c+lambda=k):}$ risolvendo la nostra matrice diventa
$P=((1,k-1,0),(0,k,0),(0,k-lambda,lambda))$ concludiamo imponendo il passaggio per un generico punto x di r: $x=[t,t,s]$
$Px=((1,k-1,0),(0,k,0),(0,k-lambda,lambda))\quad[(t),(t),(s)]=[kt,kt,(k-lambda)t+lambdas]$ deve essere uguale (a meno di costante) a $[t,t,s]$ la costante deve essere k ed imponiamo quindi sulla terza componente $(k-lambda)t+lambdas=ks$ siccome questo deve essere vero $AAa,AAb$ abbiamo $k=lambda$
concludendo le proiettività sono tutte del tipo $P=((1,lambda-1,0),(0,lambda,0),(0,0,lambda))$ con determinante diverso da zero (tutto questo nella base canonica).
mi auguro ci sia un metodo più intelligente per fare queste cose altrimenti sono una vera rottura
):Una proiettività di $mathbb{P}^2$ fissata una base (quella canonica per noi) è determinata a meno di una costante moltiplicativa da una matrice 3x3 invertibile: cominciamo ad imporre le nostre condizioni
osserviamo che le nostre proiettività fissano i punti $[0,0,1]$ e $[1,0,0]$ (il primo appartiene alla retta $r: x_1=x_2$)
quindi la matrice di trasformazione avrà la prima colonna $[mu,0,0]$ e la terza $[0,0,lambda]$ per opportuni $mu,lambda!=0$ e visto che è definita a meno di uno scalare fisso $mu=1$
$P=((1,a,0),(0,b,0),(0,c,lambda))$ una P del genere fissa per costruzione $[0,0,1]$ imponiamo che fissi un altro punto della retta r $[1,1,1]$:
$((1,a,0),(0,b,0),(0,c,lambda))\quad[(1),(1),(1)]=[1+a,b,c+lambda]=[k,k,k]$ per un opportuno k
quindi il sistema ${(1+a=k),(b=k),(c+lambda=k):}$ risolvendo la nostra matrice diventa
$P=((1,k-1,0),(0,k,0),(0,k-lambda,lambda))$ concludiamo imponendo il passaggio per un generico punto x di r: $x=[t,t,s]$
$Px=((1,k-1,0),(0,k,0),(0,k-lambda,lambda))\quad[(t),(t),(s)]=[kt,kt,(k-lambda)t+lambdas]$ deve essere uguale (a meno di costante) a $[t,t,s]$ la costante deve essere k ed imponiamo quindi sulla terza componente $(k-lambda)t+lambdas=ks$ siccome questo deve essere vero $AAa,AAb$ abbiamo $k=lambda$
concludendo le proiettività sono tutte del tipo $P=((1,lambda-1,0),(0,lambda,0),(0,0,lambda))$ con determinante diverso da zero (tutto questo nella base canonica).
mi auguro ci sia un metodo più intelligente per fare queste cose altrimenti sono una vera rottura
si credo sia corretto. ma vorrei sapere se esiste un modo più semplice e meno laborioso di questo. perchè ho altri esercizi in cui è impossibile fare questo tipo di conti.
grazie lo steso
grazie lo steso
Se non mi ricordo male, una proiettività di uno spazio $n$-dimensionale è individuata completamente una volta nota la sua azione su $n+2$ punti in posizione generale. Nel nostro caso è $n=2$.
Sia $T$ una proiettività di $\mathbb{P}^2$ come richiesta dalla traccia. Allora $T$ deve soddisfare:
a) Detta $r:{x_1=x_2$, $T(r)=r$; [edit: Attenzione qui. Vedi il post successivo.]
b) $T([1, 0, 0])=[1, 0, 0]$ (indico con parentesi quadre le coordinate omogenee).
Queste condizioni sono effettivamente indipendenti perché $[1, 0, 0]$ non appartiene a $r$. Più precisamente $r$ è la retta generata dai due punti $[1, 1, 0], [0, 0, 1]$. Riscriviamo perciò la condizione a) come:
a) $T[1, 1, 0]=[1, 1, 0], T[0, 0, 1]=[0, 0, 1]$.
I punti $[1, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]$ sono evidentemente indipendenti. Aggiungiamo a questo elenco di tre punti un quarto, $[a, b, c]$, e imponiamo la condizione che i quattro punti siano in posizione generale. Questo significa che nessuna terna di punti risulta essere allineata, e algebricamente che i determinanti
$det[[1, 1, 0], [0, 0, 1], [a, b, c]], det[[1, 1, 0],[1, 0, 0],[a, b, c]], det[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [a, b, c]]$
siano non nulli.
A conti fatti questo equivale a richiedere che $b!=a, b!=0, c!=0$. Come punto $[a, b, c]$ va quindi bene $[0, 1, 1]$.
Siamo ora in grado di caratterizzare completamente la proiettività $T$. Infatti le condizioni a) e b) assommano a:
$T[1, 1, 0]=[1, 1, 0], T[0, 0, 1]=[0, 0, 1], T[1, 0, 0]=[1, 0, 0]$ e rimane una condizione libera, che esprimiamo come
$T[0, 1, 1]=[alpha, beta, gamma]$. Già questa è una soluzione valida dell'esercizio, a patto che uno sappia motivare il perché queste condizioni sui punti in posizione generale individuano completamente la proiettività.
Altrimenti si può fare il conto e trovare una matrice per $T$. Sostanzialmente si farà lo stesso lavoro che ha fatto rubik.
Sia $T$ una proiettività di $\mathbb{P}^2$ come richiesta dalla traccia. Allora $T$ deve soddisfare:
a) Detta $r:{x_1=x_2$, $T(r)=r$; [edit: Attenzione qui. Vedi il post successivo.]
b) $T([1, 0, 0])=[1, 0, 0]$ (indico con parentesi quadre le coordinate omogenee).
Queste condizioni sono effettivamente indipendenti perché $[1, 0, 0]$ non appartiene a $r$. Più precisamente $r$ è la retta generata dai due punti $[1, 1, 0], [0, 0, 1]$. Riscriviamo perciò la condizione a) come:
a) $T[1, 1, 0]=[1, 1, 0], T[0, 0, 1]=[0, 0, 1]$.
I punti $[1, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]$ sono evidentemente indipendenti. Aggiungiamo a questo elenco di tre punti un quarto, $[a, b, c]$, e imponiamo la condizione che i quattro punti siano in posizione generale. Questo significa che nessuna terna di punti risulta essere allineata, e algebricamente che i determinanti
$det[[1, 1, 0], [0, 0, 1], [a, b, c]], det[[1, 1, 0],[1, 0, 0],[a, b, c]], det[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [a, b, c]]$
siano non nulli.
A conti fatti questo equivale a richiedere che $b!=a, b!=0, c!=0$. Come punto $[a, b, c]$ va quindi bene $[0, 1, 1]$.
Siamo ora in grado di caratterizzare completamente la proiettività $T$. Infatti le condizioni a) e b) assommano a:
$T[1, 1, 0]=[1, 1, 0], T[0, 0, 1]=[0, 0, 1], T[1, 0, 0]=[1, 0, 0]$ e rimane una condizione libera, che esprimiamo come
$T[0, 1, 1]=[alpha, beta, gamma]$. Già questa è una soluzione valida dell'esercizio, a patto che uno sappia motivare il perché queste condizioni sui punti in posizione generale individuano completamente la proiettività.
Altrimenti si può fare il conto e trovare una matrice per $T$. Sostanzialmente si farà lo stesso lavoro che ha fatto rubik.
Mi sta venendo il serio dubbio di avere scritto una grossa cavolata.
La traccia dell'esercizio richiede che la retta $r$ venga fissata punto per punto. Ovvero, se $[x, y,z]\inr$ deve essere $T[x, y,z]=[x,y,z]$. La retta $r$ è quella generata dai due punti $[1,1,0], [0,0,1]$. Io sopra ho imposto che $T$ lasci fissi questi due punti; questo è certamente sufficiente a fare sì che $T(r)=r$, ma $r$ viene fissata punto per punto?
Mi sa proprio di no. Bisogna imporre che $T$ lasci fisso un terzo punto della retta. Mi sbaglio?
La traccia dell'esercizio richiede che la retta $r$ venga fissata punto per punto. Ovvero, se $[x, y,z]\inr$ deve essere $T[x, y,z]=[x,y,z]$. La retta $r$ è quella generata dai due punti $[1,1,0], [0,0,1]$. Io sopra ho imposto che $T$ lasci fissi questi due punti; questo è certamente sufficiente a fare sì che $T(r)=r$, ma $r$ viene fissata punto per punto?
Mi sa proprio di no. Bisogna imporre che $T$ lasci fisso un terzo punto della retta. Mi sbaglio?
forse c'è qualche imprecisione, per fissare i punti $T[x,y,z]=lambda*[x,y,z]$ non necessariamente con $lambda=1$.
poi affinchè sia una proiettività dobbiamo mandare n+2 punti in posizione generale in n+2 punti in posizione generale o qualcosa del genere (abbiamo bisogno che sia un isomorfismo).
per quanto riguarda la tua domanda: se consideriamo la proiettività associata a $((alpha,0),(0,beta))$ questa fissa $[1,0]" e "[0,1]$ ma fissa tutto $mathbb{P}^1 iff alpha=beta$
dovrebbe servire un altro punto
poi affinchè sia una proiettività dobbiamo mandare n+2 punti in posizione generale in n+2 punti in posizione generale o qualcosa del genere (abbiamo bisogno che sia un isomorfismo).
per quanto riguarda la tua domanda: se consideriamo la proiettività associata a $((alpha,0),(0,beta))$ questa fissa $[1,0]" e "[0,1]$ ma fissa tutto $mathbb{P}^1 iff alpha=beta$
dovrebbe servire un altro punto
Risposta al volo: ho usato implicitamente la convenzione $[x, y, z]=[lambdax, lambday, lambdaz]$. Ovvero le coordinate in parentesi quadre sono da intendersi a meno di un fattore di proporzionalità.
Poi: come dice rubik, se una proiettività fissa due punti di una retta chiaramente non è detto che fissi punto per punto tutta la retta. Una affinità, ci farebbe questo favore. Ma una proiettività non ce lo fa.
E' quindi necessario ricavare un terzo punto sulla retta $r$ come ad esempio $[1, 1, 1]$ e aggiungere alle condizioni da imporre a $T$ la $T[1,1,1]=[1,1,1]$. Vuoi vedere che $T$ deve essere per forza l'applicazione identica?
Poi: come dice rubik, se una proiettività fissa due punti di una retta chiaramente non è detto che fissi punto per punto tutta la retta. Una affinità, ci farebbe questo favore. Ma una proiettività non ce lo fa.
E' quindi necessario ricavare un terzo punto sulla retta $r$ come ad esempio $[1, 1, 1]$ e aggiungere alle condizioni da imporre a $T$ la $T[1,1,1]=[1,1,1]$. Vuoi vedere che $T$ deve essere per forza l'applicazione identica?
"dissonance":
Risposta al volo: ho usato implicitamente la convenzione $[x, y, z]=[lambdax, lambday, lambdaz]$. Ovvero le coordinate in parentesi quadre sono da intendersi a meno di un fattore di proporzionalità.
l'avevi pure detto
grazie a entrambi...quindi ad esempio ho un'altro esercizio di questo tipo.
In $P^3$ devo determinare tutte le proiettività che lasciano invariato il piano $x_1=x_3$. e poi quelle che lo lasciano fisso.
ora queste proiettività sono matrici 4x4 definite a meno di uno scalare non nullo. ma non capisco la differenza tra lasciare invariato e lasciare fisso.
cioè quali condizioni devo imporre?
In $P^3$ devo determinare tutte le proiettività che lasciano invariato il piano $x_1=x_3$. e poi quelle che lo lasciano fisso.
ora queste proiettività sono matrici 4x4 definite a meno di uno scalare non nullo. ma non capisco la differenza tra lasciare invariato e lasciare fisso.
cioè quali condizioni devo imporre?
Chiama $pi$ il piano. Una proiettività $T$ lo lascerà invariato se $T(pi)=pi$; lo lascerà fisso se $T(x)=x$ per ogni $x\inpi$ (o viceversa, non è molto chiaro).
Anche questo esercizio, come quello precedente, è una applicazione del teorema che dicevo prima (alcuni lo chiamano teorema fondamentale della geometria proiettiva): una proiettività in uno spazio di dimensione $n$ è univocamente determinata una volta nota la sua azione su $n+2$ punti in posizione generale.
Anche questo esercizio, come quello precedente, è una applicazione del teorema che dicevo prima (alcuni lo chiamano teorema fondamentale della geometria proiettiva): una proiettività in uno spazio di dimensione $n$ è univocamente determinata una volta nota la sua azione su $n+2$ punti in posizione generale.
quindi come devo rispondere alla prima domanda??? visto che sono in uno spazio di dimensione 3 ho che una proiettività è determinata se la definisco su 5 punti in posizione generale. quindi prendo 5 punti in poszione generale nel piano?? non so proprio
allora vi dico come ho fatto io seguendo l'esempio precedente.
ho scelto tre punti non allineati nel piano $x_1=x_3$ e sono
$[1,0,1,0]$ ; $[1,1,1,1]$ ; $[1,2,1,0]$ e allora visto che una proiettività che fissa il piano punto per putno è una matrice 4x4 ho imposto
che detta
$A=((1,1,1,a),(0,1,2,b),(1,1,1,c),(0,1,0,d))$ deve essere tale che preso un punto generico del piano $P=[t,s,t,r]$ si abbia
$AP=P$ ma da qui mi vengono delle relazioni assurde e non riesco ad uscirne.
spero qualcuno mi possa aiutare e dire dove è l'errore
ho scelto tre punti non allineati nel piano $x_1=x_3$ e sono
$[1,0,1,0]$ ; $[1,1,1,1]$ ; $[1,2,1,0]$ e allora visto che una proiettività che fissa il piano punto per putno è una matrice 4x4 ho imposto
che detta
$A=((1,1,1,a),(0,1,2,b),(1,1,1,c),(0,1,0,d))$ deve essere tale che preso un punto generico del piano $P=[t,s,t,r]$ si abbia
$AP=P$ ma da qui mi vengono delle relazioni assurde e non riesco ad uscirne.
spero qualcuno mi possa aiutare e dire dove è l'errore
E si, perché non stai usando il teorema che dicevamo prima.
Io farei così: vogliamo determinare una proiettività $A$ tale che $AP=P$ per ogni $P\inpi$ ($pi$ è il piano che vogliamo fissare punto per punto).
Questo piano noi lo conosciamo definito mediante equazione; ma è una forma scomoda perché vogliamo applicare il teorema fondamentale della geometria proiettiva. Ci conviene quindi (e tu lo hai già fatto) trovare 3 suoi punti generatori, che chiamiamo $P_0, P_1, P_2$.
Prima condizione da imporre: $AP_0=P_0, AP_1=P_1, AP_2=P_2$.
Non è ancora sufficiente ai nostri scopi. A noi serve che $pi$ sia fissato punto per punto, ed essendo $pi$ di dimensione 2, dobbiamo imporre che 4 suoi punti in posizione generale siano lasciati fissi. (Chiaro il perché? Una proiettività è individuata dall'azione su $n+2$ punti in posizione generale. Quindi, dal momento che la proiettività identica lascia fissi gli $n+2$ punti, ogni proiettività che lasci fissi $n+2$ punti in posizione generale è la proiettività identica).
Troviamo quindi un $P_3\inpi$ tale che $P_0, P_1, P_2, P_3$ siano in posizione generale rispetto a $pi$ (ovvero a tre a tre non allineati). Aggiungiamo la condizione che $AP_3=P_3$.
Su tutti gli altri punti dello spazio la proiettività potrà fare quello che le pare. Quindi le condizioni da imporre sono finite:
$AP_0=P_0, AP_1=P_1, AP_2=P_2, AP_3=P_3$. Non resta che svolgere i calcoli.
Rimarco il fatto che qui stiamo determinando una proiettività che fissi il piano punto per punto.
Io farei così: vogliamo determinare una proiettività $A$ tale che $AP=P$ per ogni $P\inpi$ ($pi$ è il piano che vogliamo fissare punto per punto).
Questo piano noi lo conosciamo definito mediante equazione; ma è una forma scomoda perché vogliamo applicare il teorema fondamentale della geometria proiettiva. Ci conviene quindi (e tu lo hai già fatto) trovare 3 suoi punti generatori, che chiamiamo $P_0, P_1, P_2$.
Prima condizione da imporre: $AP_0=P_0, AP_1=P_1, AP_2=P_2$.
Non è ancora sufficiente ai nostri scopi. A noi serve che $pi$ sia fissato punto per punto, ed essendo $pi$ di dimensione 2, dobbiamo imporre che 4 suoi punti in posizione generale siano lasciati fissi. (Chiaro il perché? Una proiettività è individuata dall'azione su $n+2$ punti in posizione generale. Quindi, dal momento che la proiettività identica lascia fissi gli $n+2$ punti, ogni proiettività che lasci fissi $n+2$ punti in posizione generale è la proiettività identica).
Troviamo quindi un $P_3\inpi$ tale che $P_0, P_1, P_2, P_3$ siano in posizione generale rispetto a $pi$ (ovvero a tre a tre non allineati). Aggiungiamo la condizione che $AP_3=P_3$.
Su tutti gli altri punti dello spazio la proiettività potrà fare quello che le pare. Quindi le condizioni da imporre sono finite:
$AP_0=P_0, AP_1=P_1, AP_2=P_2, AP_3=P_3$. Non resta che svolgere i calcoli.
Rimarco il fatto che qui stiamo determinando una proiettività che fissi il piano punto per punto.
ah ok perfetto. mentre per trovare quello che lo lascia invariato basta che trovo $A$ tale che fissi tre punti che lo generano, corretto?
allora io ho fatto in questo modo:
ho scelto tre punti che generano il piano $P_1=[0,0,0,1]$ $P_2=[0,1,0,0]$ $P_3=[1,0,1,0]$
poi ho scelto $P_4=[1,1,1,1]$ e questi 4 punti sono tali che presi tre a tre non sono allineati.
ora detta
$A=((a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n),(t,p,q,r))$
imponendo $AP_i=P_i$ $i=1,2,3,4$
ho trovato le condizioni
$b=l=p=d=h=n=0$
$r=f=g=1$
$a+c=1$
$e+f=0$
$i+m=1$
$t+q=0$
quindi la matrice è del tipo
$A=((1-c,0,c,0),(-1,1,1,0),(1-m,0,m,0),(-q,0,q,1))$
con $det(A)\ne 0$
è corretto?
ho scelto tre punti che generano il piano $P_1=[0,0,0,1]$ $P_2=[0,1,0,0]$ $P_3=[1,0,1,0]$
poi ho scelto $P_4=[1,1,1,1]$ e questi 4 punti sono tali che presi tre a tre non sono allineati.
ora detta
$A=((a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n),(t,p,q,r))$
imponendo $AP_i=P_i$ $i=1,2,3,4$
ho trovato le condizioni
$b=l=p=d=h=n=0$
$r=f=g=1$
$a+c=1$
$e+f=0$
$i+m=1$
$t+q=0$
quindi la matrice è del tipo
$A=((1-c,0,c,0),(-1,1,1,0),(1-m,0,m,0),(-q,0,q,1))$
con $det(A)\ne 0$
è corretto?
posso avere una conferma oppure una smentita riguardo a che ho scritto, se possibile?? grazie mille.
Imponendo che il determinante sia non nullo dovresti riuscire a togliere un parametro. Comunque il procedimento è corretto: se vuoi controllare il risultato, verifica direttamente che $AP_i=P_i$.
si ho verificato che $AP_i=P_i$ e con la condizione del determinante risulta che deve essere $m\ne c$
però mi sorge un dubbio invece di scegliere il quarto punto in modo particolare, in questo caso $[1:1:1:1]$ avessi scelto un punto a caso del piano vale a dire
$Q=[s:t:s:v]$ e imponendo che $A$ lo conservi, avrei dovuto scrivere che
$AQ=\mu Q$ con l'accortezza di prendere $Q$ in poizione general con gli altri tre punti e quindi mi sarebbero venute fuori altre condizioni sulle coordinate di Q.
quindi credo sia molto più facile fissare 4 precisi, no?
però mi sorge un dubbio invece di scegliere il quarto punto in modo particolare, in questo caso $[1:1:1:1]$ avessi scelto un punto a caso del piano vale a dire
$Q=[s:t:s:v]$ e imponendo che $A$ lo conservi, avrei dovuto scrivere che
$AQ=\mu Q$ con l'accortezza di prendere $Q$ in poizione general con gli altri tre punti e quindi mi sarebbero venute fuori altre condizioni sulle coordinate di Q.
quindi credo sia molto più facile fissare 4 precisi, no?
Certo che è molto più facile. Almeno, per me lo è, e inoltre mi pare anche più efficace perché sfrutta un teorema potente, anziché imporre "a mano" la condizione di fissare ogni punto del piano. Tra l'altro ho qualche dubbio sul fatto che quest'ultima strada sia percorribile.
mi è sorto un dubbio.... in questi due esercizi si sono scelti dei punti particolaissimi ad esempio quello riguardante le proiettività che fissano il piano punto per punto nello spazio tridimensionale proiettivo .
chi mi dice che scegliendo altri punti ottengo le stesse proiettività?
scuasate la domanda forse stupida
chi mi dice che scegliendo altri punti ottengo le stesse proiettività?
scuasate la domanda forse stupida
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