Ogni sottospazio vettoriale è \(\bigcap_{i=1}^{n-m}\operatorname{Ker}f_i\) per \(n-m\) funzionali lineari \(f_i\)
\( \newcommand{\pt}[5]{\left(\begin{smallmatrix}#1\\ #2\\ #3\\ #4\\ #5\end{smallmatrix}\right)} \)Ciao. Sia \( M\leqq L \) un sottospazio vettoriale \( m \)-dimensionale di un \( K \)-spazio vettoriale \( L \) di dimensione \( n \). Devo provare che \( M \) è l'intersezione dei nuclei di \( n - m \) funzionali lineari \( f_1,\dots,f_{n - m}\colon L\to K \).
Mi interessa capire se l'idea che mi son fatto sull'uso dei nuclei di funzionali lineari per descrivere sottospazi è buona. Sia \( E = \left\{e_1,\dots,e_m\right\} \) una base del sottospazio \( M \), per cui ogni vettore \( l\in L \) si scriva come \(
\sum_{i = 1}^na_ie_i \) una volta estesa ad una base \( E^\prime = \left\{e_1,\dots,e_m,e_{m + 1},\dots,e_{n}\right\} \) dell'intero spazio. Posso definire quegli \( n-m \) funzionali come
\begin{align*}
f_1\colon l&\mapsto a_n\\
f_2\colon l&\mapsto a_{n - 1}\\
\vdots\\
f_{n - m}\colon l&\mapsto a_{m + 1}
\end{align*}
Allora ho la tesi
Perché/quando un risultato del genere è utile? L'unica risposta che sono riuscito a darmi è la seguente.
Se suppongo di aver scritto \( M \) come intersezione dei nuclei di questi funzionali[nota]Che non sono altro che i vettori \( e^{m + 1},\dots,e^{n}\in L^* \) duali ai vettori \( e_{m + 1},\dots,e_n \), e definiti come gli unici vettori \( e^i \) che facciano commutare
\[
\begin{align*}
f_1(l) &= f_1\left(\sum_{i = 1}^n x_id_i\right) = \sum_{i = 1}^n x_if_1(d_i)\\
\vdots\\
f_{n - m}(l) &= f_{n - m}\left(\sum_{i = 1}^n x_id_i\right) = \sum_{i = 1}^n x_if_{n - m}(d_i)\\
\end{align*}
\]dove, scrivendo ogni vettore \( d_i \) della base come \( d_i = \sum_{j = 1}^n a_{ji}e_i\), ottengo
\begin{align*}
f_1(l) &= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}f_1(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}\delta_{\{e_1\}}(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_ia_{1i}\\
\end{align*} fino a
\begin{align*}
f_{n - m}(l) &= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}f_{n - m}(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}\delta_{\{e_{n - m}\}}(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_ia_{n - m,i}\\
\end{align*}
Voglio direttamente le espressioni di \( f(l) \) (per l'esempio che mi son fatto, vd. spoiler), quindi non so in questo caso quanto mi sarebbe utile procedere in modo più "concettuale", componendo con la matrice di cambio di base.
Mi interessa capire se l'idea che mi son fatto sull'uso dei nuclei di funzionali lineari per descrivere sottospazi è buona. Sia \( E = \left\{e_1,\dots,e_m\right\} \) una base del sottospazio \( M \), per cui ogni vettore \( l\in L \) si scriva come \(
\sum_{i = 1}^na_ie_i \) una volta estesa ad una base \( E^\prime = \left\{e_1,\dots,e_m,e_{m + 1},\dots,e_{n}\right\} \) dell'intero spazio. Posso definire quegli \( n-m \) funzionali come
\begin{align*}
f_1\colon l&\mapsto a_n\\
f_2\colon l&\mapsto a_{n - 1}\\
\vdots\\
f_{n - m}\colon l&\mapsto a_{m + 1}
\end{align*}
Allora ho la tesi
Perché/quando un risultato del genere è utile? L'unica risposta che sono riuscito a darmi è la seguente.
Se suppongo di aver scritto \( M \) come intersezione dei nuclei di questi funzionali[nota]Che non sono altro che i vettori \( e^{m + 1},\dots,e^{n}\in L^* \) duali ai vettori \( e_{m + 1},\dots,e_n \), e definiti come gli unici vettori \( e^i \) che facciano commutare
[tex]\xymatrix{{\left\{e_1,\dots,e_n\right\}}\ar[dr]_{\delta_{\{e_i\}}}\ar@{^{(}->}[r] & L\ar[d]^{e_i}\\ &K}[/tex]
[/nota], posso pensare di voler determinare come valutino su di un vettore \( l = \sum_{i = 1}^n x_id_i \) espresso in una base qualunque (ad esempio in una qualche "base canonica"). Ho\[
\begin{align*}
f_1(l) &= f_1\left(\sum_{i = 1}^n x_id_i\right) = \sum_{i = 1}^n x_if_1(d_i)\\
\vdots\\
f_{n - m}(l) &= f_{n - m}\left(\sum_{i = 1}^n x_id_i\right) = \sum_{i = 1}^n x_if_{n - m}(d_i)\\
\end{align*}
\]dove, scrivendo ogni vettore \( d_i \) della base come \( d_i = \sum_{j = 1}^n a_{ji}e_i\), ottengo
\begin{align*}
f_1(l) &= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}f_1(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}\delta_{\{e_1\}}(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_ia_{1i}\\
\end{align*} fino a
\begin{align*}
f_{n - m}(l) &= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}f_{n - m}(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_i\sum_{j = 1}^na_{ji}\delta_{\{e_{n - m}\}}(e_j)\\
&= \sum_{i = 1}^nx_ia_{n - m,i}\\
\end{align*}
Voglio direttamente le espressioni di \( f(l) \) (per l'esempio che mi son fatto, vd. spoiler), quindi non so in questo caso quanto mi sarebbe utile procedere in modo più "concettuale", componendo con la matrice di cambio di base.
Risposte
Fissa una base di \(L\); di conseguenza, una base di \(M\) determina, mediante il suo ortogonale, una base di \((L/M)^*\); i vettori che formano questa base sono i funzionali che stai cercando.
Cosa ho usato:
1. L'isomorfismo \(M^\perp\cong (L/M)^*\) tra l'ortogonale di \(M\) e il duale del quoziente \(L/M\);
2. la dualità canonica \(V^*\otimes V \to k\) che manda \((f,v)\) in \(f(v)\).
Cosa ho usato:
1. L'isomorfismo \(M^\perp\cong (L/M)^*\) tra l'ortogonale di \(M\) e il duale del quoziente \(L/M\);
2. la dualità canonica \(V^*\otimes V \to k\) che manda \((f,v)\) in \(f(v)\).
Per dirla in modo meno "abstract nonsense", stai dicendo che i sottospazi vettoriali di dimensione \(m\), ovvero di codimensione \(k:=n-m\), sono descritti da \(k\) equazioni lineari linearmente indipendenti. È sostanzialmente il teorema di Rouché-Capelli.
Una aggiunta: ti chiedi a cosa serva questa forma di Rouché-Capelli. In un certo senso, non serve a niente, il contenuto di questo teorema non è maggiore del contenuto "algoritmico" del Rouché-Capelli standard. Però è un punto di vista astratto che può tornare utile nello studio delle varietà differenziabili; vedi per esempio il teorema del rango costante, di cui si sta parlando proprio in questo momento in Analisi.
Una aggiunta: ti chiedi a cosa serva questa forma di Rouché-Capelli. In un certo senso, non serve a niente, il contenuto di questo teorema non è maggiore del contenuto "algoritmico" del Rouché-Capelli standard. Però è un punto di vista astratto che può tornare utile nello studio delle varietà differenziabili; vedi per esempio il teorema del rango costante, di cui si sta parlando proprio in questo momento in Analisi.
Grazie 
@dissonance Mi interessava principalmente capire il senso di proporre questi due esercizi
p.s. Ho guardato il post in analisi. Non ci capisco nulla
@dissonance Mi interessava principalmente capire il senso di proporre questi due esercizi
prima di aver dato la definizione di funzione lineare (c'è nel capitolo dopo). Probabilmente è solo un bel modo, come dici, per indurre a trovare una dimostrazione di Rouché-Capelli.
p.s. Ho guardato il post in analisi. Non ci capisco nulla
Mi sono ricordato di una referenza più precisa; Warner, "Foundations of differentiable manifolds". A pagina 22 parla di sottovarietà, e quindi dei vari teoremi della funzione inversa e implicita. Esattamente come un sottospazio vettoriale si descrive mediante forme lineari linearmente indipendenti, nel caso differenziabile si può descrivere una sottovarietà mediante equazioni. Queste equazioni non lineari, però, devono essere indipendenti, nel senso che i *differenziali*, che sono forme lineari, devono essere ovunque linearmente indipendenti.
Questo è il punto di vista di quel libro, e mi ricorda molto l'approccio di questo post.
Questo è il punto di vista di quel libro, e mi ricorda molto l'approccio di questo post.
Ah beh, può essere che sia proposto qualcosa di simile...
[ot]A una certa il libro si definisce una "elementary introduction to functional analysis", e ho letto dalla prefazione alla traduzione inglese Introduction to Algebra, di un testo sempre dello stesso autore, qualcosa sulla filosofia della scuola russa (sul fatto che i dipartimenti, lì, negli anni Settanta, fossero spesso "dipartimenti di Matematica e Meccanica", ecc.). Direi che la cosa non mi dispiace c:[/ot]
[ot]A una certa il libro si definisce una "elementary introduction to functional analysis", e ho letto dalla prefazione alla traduzione inglese Introduction to Algebra, di un testo sempre dello stesso autore, qualcosa sulla filosofia della scuola russa (sul fatto che i dipartimenti, lì, negli anni Settanta, fossero spesso "dipartimenti di Matematica e Meccanica", ecc.). Direi che la cosa non mi dispiace c:[/ot]
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