Spazio vettoriale da un solo elemento.

[Pasquale 90]

Buongiorno, è possibile strutturare su un insieme $V$ tale che sia costituito da un solo elemento $a ne 0$ una struttura di spazio vettoriale ?

Ad esempio, su $V={0}$ lo posso strutturare ad uno spazio vettoriale, ossia :
1) $0+0=0$
2) $x*0=0 \ forall x in K$

Con la seguente definizione, $V$ risulta uno spazio vettoriale, cioè l'operazioni binarie interne $+,*$ soddisfano le proprietà che definiscono uno spazio vettoriale.

Quindi nel caso in cui ho $V={a:a ne 0}$, $V$ può risultare spazio vettoriale ?
A mio avviso no, perchè ad esempio se prendo $a=1$ si dovrebbe verificare $1+1=1$ ma questo non è possibile. Aspetto una risposta da qualcuno che è più esperto di me.

Buona domenica.

[Pasquale 90]

Cioa arnett,
allora se ho capito bene quello che mi stai dicendo, devo suppore che ogni insieme costituito da un solo elemento, quest'ultimo devo essere necessariamente lo zero dell'insieme, inteso come elemento neutro rispetto alla somma, affinchè l'insieme costituito da un solo elemento sia uno spazio vettoriale su un campo ?

[axpgn]

Una delle condizioni per cui un insieme si possa chiamare "spazio vettoriale" è che esista un elemento che sia neutro rispetto all'operazione denominata "addizione" e questo elemento lo si suole chiamare "zero".
Quindi fai un po' te …

P.S.: quali sono le condizioni per cui un insieme possa chiamarsi "spazio vettoriale"?

[axpgn]

Esempio

The singleton vector space

Set: $Z={z}$
Equality: Huh?
Vector Addition: $z+z=z$
Scalar Multiplication: $αz=z$


This should look pretty wild. First, just what is $z$ ?
Column vector, matrix, polynomial, sequence, function? Mineral, plant, or animal? We aren't saying!
$z$ just is.
And we have definitions of vector addition and scalar multiplication that are sufficient for an occurrence of either that may come along.
Our only concern is if this set, along with the definitions of two operations, fulfills the ten properties of definition.
Let us check associativity of vector addition.
For all $u,v,w in ZZ$, $u+(v+w)=z+(z+z)=z+z=(z+z)+z=(u+v)+w$
What is the zero vector in this vector space ? With only one element in the set, we do not have much choice. Is $z=0$ ?
It appears that $z$ behaves like the zero vector should, so it gets the title.
Maybe now the definition of this vector space does not seem so bizarre.
It is a set whose only element is the element that behaves like the zero vector, so that lone element is the zero vector.

[Pasquale 90]

Grazie siete stati d'aiuto, quindi tutto sta nel definire la somma in modo corretto affinchè risulti spazio vettoriale.
Ad esempio potrei fare un discorso analogo su un insieme $V$ costituito da due solo elementi $V={a,b}$
posso definire la somma in due maniera "penso"

$1)\ a+b=a \ qquad 2) \ a+b=b$

ottengo rispettivamente $O_V=b$ , $O_V=a$

cosi bisogna procedere ?

[gugo82]

Ovviamente no, perché l’elemento neutro rispetto alla somma deve essere unico (si dimostra facilmente).

[axpgn]

Forse intendeva solo una delle due … ma anche in tal caso, dovresti definire anche la moltiplicazione per uno scalare (e l'uguaglianza tra elementi) e poi verificare se sussistono tutte le proprietà che caratterizzano uno spazio vettoriale … potresti farlo come esercizio, penso sarebbe utile …

Per esempio, la tua definizione dell'addizione non è ben posta: che vuol dire $a+b=a$? Che qualsiasi cosa sommi ottieni sempre l'elemento $a$ (p.es. $b+b=a$) oppure che il risultato dell'addizione è uguale al primo membro (p.es $b+a=b$) ?

[Pasquale 90]

Si intendevo una delle due, scelgo la prima e definisco anche il prodotto tra scalari e vettori.
Sia $V={a,b}$

$+:(a,b) in V*V to a+b in V$ definita $a+b=a$

$*:(k,a) in K*V to ka in V$ definito $ka=a$

le seguenti operazioni devono verificare le seguenti proprietà :
1) $(V,+)$ gruppo abeliano
2) $k(a+b)=a$ per ogni $k in K$ e per ogni $a,b in V$
3) $(k+h)a=a$ per ogni $k,h in K$ e per ogni $a in V$
5) $1_Ka=a$


esatto non è ben posta la definizione che ho dato sulla somma

In generale in ogni spazio vettoriale $(V,+.*)$ vale questo
$forall u , v in V$ l'equazione $x+u=v$ ha un'unica soluzione $v-u$
$x+u=u $ se e solo se $x=0$
$x+u=0$ se e solo se $x=-u$
Nel mio caso ho due elementi $a,b$, affinchè valgono queste proprietà si deve verificare che:
$a+b=a$
$a+a=a$
$b+b=a$
in questo modo
$a=0_V$ e $b=-a$ il simmetrico per la definizione di prodotto.
Prima che scrivo un papello, mi potete dire se cosi va bene

[Pasquale 90]

ho scritto nel messaggio precedente
$a+b=a$
$a+a=a$
$b+b=a$

se definisco ora, $b+b=b$ ottengo $b=O_V$. così ? Poi ci manca il simmetrico di $a,b$ rispetto all'addizione cioè $-a\ "e"\ -b$
Ma se ho due elementi come faccio a considerare i suoi simmettrici ?

[gugo82]

$b+b=a ^^ b+b=b$?
Sicuro?

[Pasquale 90]

si avete ragione sono un pò troppo confusionario, inoltre vi romgrazio per le risposte...Riscrivo
Sia $V={a,b}$ definisco su $V$ la somma come

$a+b=a $

invece, il prodotto con dominio di operatori sul campo $K$, lo definisco come

$forall lamda in K \ qquad forall v in V \ qquad lamdav=v$

Elemento neutro rispetto all'operazione di addizione in $V$ :
$forall v in V \ exists O_V in V: \ qquad v+O_V\ =\ O_V+v\ =\ v$ ;

Commutatività, cioè deve verificare che
$forall v,w in V \ : \ qquad v+w\ =\ v+w$ ;

Opposto, cioè deve verificare che
$forall v in V \ exists -v in V : \ qquad v+(-v)\ =\ (-v)+v\ =\ O_V$ ;

Associatività
$forall v,w,z in V: \ qquad v+(w+z)=(v+w)+z$.

Per come è stata definita la somma, si ha:
l'elemento neutro rispetto alla somma è $b$
l'opposto è $-a=b-a$
invece l'associatività, non saprei come definirla.

[gugo82]

No.
Quella non è una definizione della somma.

Hai quattro accoppiamenti possibili $a+a, a+b, b+a, b+b$. Quanto vale ognuna di queste somme?

[Pasquale 90]

Scusami gugo82 una domanda prima di continuare....
In uno spazio vettoriale qualune devono necessariamente esistere il vettore nullo il quale è l'elemento neutro rispetto all'operazione di somma e l'opposto di ogni vettore rispetto all'operazione di somma... giusto ?

Quindi se quello che dico è vero arrivo subito alla conclusione, in particolare in uno spazio vettoriale costituito da due elementi $V={a,b}$ ho poco possibilità si deve verificare che uno dei due supponiamo sia $a$ sia il vettore nullo di $V$ cioè $a=O_V$ e quindi $b$ il suo opposto cioè $b=-a=-O_V=O_V$

Quindi se definisco la somma $a+b=a=b+a$

elemento neutro:
$a+b=O_V-a=O_V-O_V=O_V+O_V=O_V$
$b+a=-a+O_V=-O_V+O_V=O_V+O_V=O_V$
opposto
$a-b=O_V-(-a)=O_V +a =O_V+O_V=O_V$
$b-a=O_V-O_V=O_V+O_V=O_V$


Cosi va bene ?

"gugo82":
Hai quattro accoppiamenti possibili $ a+a, a+b, b+a, b+b $. Quanto vale ognuna di queste somme?

Se come ho detto è giusto ottengo
$a+a=O_V+O_V=O_V$
$b+b=-a-a=-O_V-O_V=O_V+O_V=O_V$

Spero che non ho detto e scritto qualcosa di terribilmente grave da farti rovinare il sabato sera !!

[gugo82]

Guarda che l’opposto di $0_V$ è $0_V$ (come ovvio che sia… Dimostralo!).

[Pasquale 90]

Se $O_V$ è l'opposto di $O_V$ deve soddisfare la proprità
$forall v in V, \ exists (-v) in V \ : \ v+(-v)= (-v)+v=O_V$
allora si ha $O_V+O_V=O_V$ quindi $-O_V=O_V$

Allora non è corretto quello che ho scritto..quindi se definisco la somma come ho detto prima
$a+b=b+a=a$ la prima uguaglianza voglio intendere che è commutativa...inoltre $b$ funge da vettore nullo
il problema è: se ho due elementi in $V$ come posso definire il suo opposto.. per il vettore nullo abbiamo risolto invece per $a$ come posso fare...qui mi inceppo

[gugo82]

Ok, leviamo $b$ di mezzo ed usiamo $0$ al suo posto.

Se capisco bene, hai definito $0+0:=0$ ed $a+0:=a=:0+a$, quindi ti rimane da definire $a+a$.
Quanto farà mai $a+a$?