Teorema su somma diretta
Salve a tutti, ho una piccola perplessità riguardante questo teorema:
W[size=50]1[/size] ∩ W[size=50]2[/size] <---> ogni vettore dello spazio somma si può decomporre univocamente nella somma di un elemento in W[size=50]1[/size] + un elemento in W[size=50]2[/size].
Non mi è chiara la dimostrazione <-- .
Sia x un vettore appartenente all'intersezione tra W[size=50]1[/size] e W[size=50]2[/size], vuol dire che x appartiene sia a W[size=50]1[/size] che W[size=50]2[/size].
Dato che questi sono sottospazi vettoriali, allora (-x) appartiene a entrambi, e dunque anche all'intersezione.
x + (-x) = 0, quindi 0 si può scrivere come somma di due elementi appartenenti a W[size=50]1[/size] (equivalentemente a W[size=50]2[/size]) in contrasto con l'ipotesi iniziale (x e -x appartengono entrambi a W[size=50]1[/size], equiv. W[size=50]2[/size]). CVD.
I miei dubbi sono i seguenti:
1) 0 può essere decomposto come 0 appartenente a W[size=50]1[/size] + 0 appartenente di nuovo a W[size=50]1[/size], quindi "ogni vettore dello spazio somma si può decomporre univocamente nella somma di un elemento in W[size=50]1[/size] + un elemento in W[size=50]2[/size]" non dovrebbe includere "eccetto 0"?
2) Se provo a prendere x appartenente a W[size=50]1[/size] ma non a W[size=50]2[/size], se faccio x + (-x) = 0, ma sappiamo che 0 può essere scritto solo come 0+0, dunque se io prendo un generico x appartenente a W[size=50]1[/size] (es. (1,0) ) e il suo opposto e faccio la somma [ (1,0) + (-1,0) ] non ci troviamo comunque 0 anche se sappiamo che 0 è univocamente decomposto?
Noi siamo sicuri che se x appartiene a W[size=50]1[/size], allora sicuramente anche -x appartiene, essendo sottospazio. Dove sbaglio? Grazie mille e scusate il disturbo.
W[size=50]1[/size] ∩ W[size=50]2[/size] <---> ogni vettore dello spazio somma si può decomporre univocamente nella somma di un elemento in W[size=50]1[/size] + un elemento in W[size=50]2[/size].
Non mi è chiara la dimostrazione <-- .
Sia x un vettore appartenente all'intersezione tra W[size=50]1[/size] e W[size=50]2[/size], vuol dire che x appartiene sia a W[size=50]1[/size] che W[size=50]2[/size].
Dato che questi sono sottospazi vettoriali, allora (-x) appartiene a entrambi, e dunque anche all'intersezione.
x + (-x) = 0, quindi 0 si può scrivere come somma di due elementi appartenenti a W[size=50]1[/size] (equivalentemente a W[size=50]2[/size]) in contrasto con l'ipotesi iniziale (x e -x appartengono entrambi a W[size=50]1[/size], equiv. W[size=50]2[/size]). CVD.
I miei dubbi sono i seguenti:
1) 0 può essere decomposto come 0 appartenente a W[size=50]1[/size] + 0 appartenente di nuovo a W[size=50]1[/size], quindi "ogni vettore dello spazio somma si può decomporre univocamente nella somma di un elemento in W[size=50]1[/size] + un elemento in W[size=50]2[/size]" non dovrebbe includere "eccetto 0"?
2) Se provo a prendere x appartenente a W[size=50]1[/size] ma non a W[size=50]2[/size], se faccio x + (-x) = 0, ma sappiamo che 0 può essere scritto solo come 0+0, dunque se io prendo un generico x appartenente a W[size=50]1[/size] (es. (1,0) ) e il suo opposto e faccio la somma [ (1,0) + (-1,0) ] non ci troviamo comunque 0 anche se sappiamo che 0 è univocamente decomposto?
Noi siamo sicuri che se x appartiene a W[size=50]1[/size], allora sicuramente anche -x appartiene, essendo sottospazio. Dove sbaglio? Grazie mille e scusate il disturbo.
Risposte
Casomai il teorema sarebbe così da enunziare:
La dimostrazione procede col considerare un vettore \(\displaystyle\underline{v}\) nello spazio (vettoriale) intersezione, e come giustamente è stato scritto sugli appunti:
\[
\underline{v}\in\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2\Rightarrow-\underline{v}\in\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2,\\
\underline{v}+(-\underline{v})=\underline{0};
\]
ma per le ipotesi \(\displaystyle\underline{0}\) è univocamente scomponibile come \(\displaystyle\underline{0}=\underline{0}+\underline{0}\) (il vettore nullo è unico, non ci sono vettori nulli "diversi"), quindi dev'essere \(\displaystyle\underline{v}=\underline{0}\), ovvero \(\displaystyle\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2=\{\underline{0}\}\).
L'errore commesso al punto (2) è il non ricordarsi che l'intersezione di sottospazi vettoriali è ancòra un sottospazio vettoriale, quindi non può accadere che \(\displaystyle\underline{v}\in\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2,-\underline{v}\notin\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2\).
Siano \(\displaystyle\mathbb{W}_1\) e \(\displaystyle\mathbb{W}_2\) due sottospazi vettoriali di \(\displaystyle\mathbb{V}\). I vettori del loro spazio somma si possono decomporre come una somma di un unico vettore di \(\displaystyle\mathbb{W}_1\) e di un unico vettore di \(\displaystyle\mathbb{W}_2\) se e solo se \(\displaystyle\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2=\{\underline{0}\}\).
La dimostrazione procede col considerare un vettore \(\displaystyle\underline{v}\) nello spazio (vettoriale) intersezione, e come giustamente è stato scritto sugli appunti:
\[
\underline{v}\in\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2\Rightarrow-\underline{v}\in\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2,\\
\underline{v}+(-\underline{v})=\underline{0};
\]
ma per le ipotesi \(\displaystyle\underline{0}\) è univocamente scomponibile come \(\displaystyle\underline{0}=\underline{0}+\underline{0}\) (il vettore nullo è unico, non ci sono vettori nulli "diversi"), quindi dev'essere \(\displaystyle\underline{v}=\underline{0}\), ovvero \(\displaystyle\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2=\{\underline{0}\}\).
L'errore commesso al punto (2) è il non ricordarsi che l'intersezione di sottospazi vettoriali è ancòra un sottospazio vettoriale, quindi non può accadere che \(\displaystyle\underline{v}\in\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2,-\underline{v}\notin\mathbb{W}_1\cap\mathbb{W}_2\).
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