Ogni sottospazio vettoriale \( n - 1 \) dimensionale è il nucleo di un funzionale lineare
Ciao. Sia \( L \) uno spazio vettoriale di dimensione \( n \). Devo provare 1) che il nucleo di un qualsiasi funzionale lineare non-nullo su \( L \) ha dimensione \( n - 1 \); 2) che ogni sottospazio \( (n - 1) \)-dimensionale in \( L \) è il nucleo di un funzionale lineare.
Un funzionale lineare è una funzione lineare \( L\to V \) dello spazio sul suo campo di definizione.
Non conosco la formula delle dimensioni (!) (e nemmeno cosa sia una funzione lineare in realtà, so solo cos'è un funzionale lineare).
Per la 1) ho una sola soluzione, che ovviamente è quella di ammettere che il nucleo di un funzionale abbia per dimensione un numero \( m \) minore stretto di \( n - 1 \). Allora, completata una base \( E = \left\{e_1,\dots,e_m\right\} \) del suo nucleo ad una base \( E^\prime = \left\{e_1,\dots,e_m,e_{m + 1},\dots,e_n\right\} \) dello spazio, ho che l'immagine \( \operatorname{Im} f \) del funzionale è generata come
\[
\operatorname{Im} f = \left\langle f(e_{m + 1}),\dots,f(e_n)\right\rangle
\] I vettori che compaiono nell'"argomento di quello span" sono una base, perché ammettere che non siano linearmente indipendenti è contraddittorio (e quindi si viene a negare il fatto che la dimensione sia monotona). \( \square \)
Credo btw che lo scopo dell'esercizio fosse proprio anticipare il teorema di nullità-rango, ché è presentato tipo nelle due pagine successive.
Per la 2) ho due soluzioni. Una prima versione è "imbrogliare" come segue. Sia \( E = \left\{e_1,\dots,e_{n - 1}\right\} \) una base del nucleo di un funzionale \( f \), e sia \( E^\prime = \left\{e_1,\dots,e_{n - 1},e_n\right\} \) la sua estensione ad una base di \( L \). C'è un isomorfismo \( \varphi\colon L\cong K^n \), che determina univocamente una \( n \)-upla di scalari \( a_1,\dots,a_{n - 1},a_n \) del campo di definizione per ogni vettore \( l \) dello spazio. La funzione \( \psi\colon K^n\to K \) che mappa \( \left(a_1,\dots,a_{n - 1},a_n\right)\mapsto a_n \) è lineare.
Allora la composizione \( f = \psi\circ\varphi \)
Una seconda è più carina, e la faccio solo per boh far pratica. Sia \( M\leqq L \) un sottospazio di dimensione \( n - 1 \). È \( \operatorname{codim} M = 1 \), ergo il quoziente \( V/M \) e il campo di definizione sono isomorfi. Rimane da dimostrare che la composizione \( f = \varphi\circ\pi \) come
con \( \pi \) proiezione canonica al quoziente, e \( \varphi \) isomorfismo che identifica il quoziente con il campo di base, ha ancora per nucleo \( M \). È una verifica banale. \( \square \)
C'è qualche modo più intelligente di fare quest'esercizio?
Un funzionale lineare è una funzione lineare \( L\to V \) dello spazio sul suo campo di definizione.
Non conosco la formula delle dimensioni (!) (e nemmeno cosa sia una funzione lineare in realtà, so solo cos'è un funzionale lineare).
Per la 1) ho una sola soluzione, che ovviamente è quella di ammettere che il nucleo di un funzionale abbia per dimensione un numero \( m \) minore stretto di \( n - 1 \). Allora, completata una base \( E = \left\{e_1,\dots,e_m\right\} \) del suo nucleo ad una base \( E^\prime = \left\{e_1,\dots,e_m,e_{m + 1},\dots,e_n\right\} \) dello spazio, ho che l'immagine \( \operatorname{Im} f \) del funzionale è generata come
\[
\operatorname{Im} f = \left\langle f(e_{m + 1}),\dots,f(e_n)\right\rangle
\] I vettori che compaiono nell'"argomento di quello span" sono una base, perché ammettere che non siano linearmente indipendenti è contraddittorio (e quindi si viene a negare il fatto che la dimensione sia monotona). \( \square \)
Credo btw che lo scopo dell'esercizio fosse proprio anticipare il teorema di nullità-rango, ché è presentato tipo nelle due pagine successive.
Per la 2) ho due soluzioni. Una prima versione è "imbrogliare" come segue. Sia \( E = \left\{e_1,\dots,e_{n - 1}\right\} \) una base del nucleo di un funzionale \( f \), e sia \( E^\prime = \left\{e_1,\dots,e_{n - 1},e_n\right\} \) la sua estensione ad una base di \( L \). C'è un isomorfismo \( \varphi\colon L\cong K^n \), che determina univocamente una \( n \)-upla di scalari \( a_1,\dots,a_{n - 1},a_n \) del campo di definizione per ogni vettore \( l \) dello spazio. La funzione \( \psi\colon K^n\to K \) che mappa \( \left(a_1,\dots,a_{n - 1},a_n\right)\mapsto a_n \) è lineare.
Allora la composizione \( f = \psi\circ\varphi \)
[tex]\xymatrix{L\ar@/_1.5pc/[rr]^f\ar[r]^\varphi & K^n\ar[r]^\psi & K}[/tex]
è ancora lineare ed ha per nucleo proprio \( M \). \( \square \)Una seconda è più carina, e la faccio solo per boh far pratica. Sia \( M\leqq L \) un sottospazio di dimensione \( n - 1 \). È \( \operatorname{codim} M = 1 \), ergo il quoziente \( V/M \) e il campo di definizione sono isomorfi. Rimane da dimostrare che la composizione \( f = \varphi\circ\pi \) come
[tex]\xymatrix{L\ar@/_1.5pc/[rr]^f\ar[r]^\pi & V/M\ar[r]^\varphi & K}[/tex]
con \( \pi \) proiezione canonica al quoziente, e \( \varphi \) isomorfismo che identifica il quoziente con il campo di base, ha ancora per nucleo \( M \). È una verifica banale. \( \square \)
C'è qualche modo più intelligente di fare quest'esercizio?
Risposte
Non conosco la formula delle dimensioni (!) (e nemmeno cosa sia una funzione lineare in realtà, so solo cos'è un funzionale lineare).
Cosa significa questa frase?
Intendo che non mi è concesso usare la formula delle dimensioni per fare l'esercizio (perché sul libro del corso, questo, è posto ancora prima della definizione di applicazione lineare; c'è solo un "esempio" sotto la def. di sottospazio, dove appunto si dice cosa sia un funzionale lineare e si fa vedere che l'insieme dei funzionali è un sottospazio di uno spazio di funzioni).
Inoltre, non ho nemmeno guardato se sul testo c'è la definizione di spazio vettoriale quoziente, ho solo voluto provare a fare la seconda parte così - per provarci. Ma di quel punto non mi curo molto.
Inoltre, non ho nemmeno guardato se sul testo c'è la definizione di spazio vettoriale quoziente, ho solo voluto provare a fare la seconda parte così - per provarci. Ma di quel punto non mi curo molto.
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