Action of a linear mapping on the coordinates
Ciao. Più che una domanda ho solo una curiosità sulla "notazione" 
Perché, quando si enuncia che prendere l'immagine di un vettore tramite un'applicazione lineare e moltiplicare opportune matrici sono in realtà la stessa operazione, si sente il termine "azione sulle coordinate" (sul libro che sto usando ora, che è il Kostrikin, e - credo - anche sulle dispense del Cailotto)? Quando ho visto per la primissima volta le matrici associate no, ma ora so più o meno che cosa si intende con "azione di un gruppo"; però qui non ha senso, non è questa la definizione di azione che ha in mente l'autore. È vero che l'applicazione
\[
\begin{align*}
\operatorname{Hom}_K(N,M)\times N &\to M\\
(f,l)\mapsto f(l)
\end{align*}
\] che assegna ad ogni funzione lineare \( f\colon N\to M \) la sua immagine nel punto \( l \) sembra un'azione del gruppo (?) \( \operatorname{Hom}_K \) (su... ?), e che la stessa cosa si può dire del prodotto per colonne
\[
\operatorname{M}_{m\times n}(K)\times K^n\to K^m
\] ma... ciò ha senso solo quando \( f\colon L\to L \) è un endomorfismo. (E allora si ha sì che \( \operatorname{End}(L)\times L\to L \) è un'azione del gruppo additivo \( \operatorname{End}(L) \) su \( L \); e penso sia anche equivalente all'azione \( \operatorname M_{n}(K)\times K^n\to K^n \)).
Perché, quando si enuncia che prendere l'immagine di un vettore tramite un'applicazione lineare e moltiplicare opportune matrici sono in realtà la stessa operazione, si sente il termine "azione sulle coordinate" (sul libro che sto usando ora, che è il Kostrikin, e - credo - anche sulle dispense del Cailotto)? Quando ho visto per la primissima volta le matrici associate no, ma ora so più o meno che cosa si intende con "azione di un gruppo"; però qui non ha senso, non è questa la definizione di azione che ha in mente l'autore. È vero che l'applicazione\[
\begin{align*}
\operatorname{Hom}_K(N,M)\times N &\to M\\
(f,l)\mapsto f(l)
\end{align*}
\] che assegna ad ogni funzione lineare \( f\colon N\to M \) la sua immagine nel punto \( l \) sembra un'azione del gruppo (?) \( \operatorname{Hom}_K \) (su... ?), e che la stessa cosa si può dire del prodotto per colonne
\[
\operatorname{M}_{m\times n}(K)\times K^n\to K^m
\] ma... ciò ha senso solo quando \( f\colon L\to L \) è un endomorfismo. (E allora si ha sì che \( \operatorname{End}(L)\times L\to L \) è un'azione del gruppo additivo \( \operatorname{End}(L) \) su \( L \); e penso sia anche equivalente all'azione \( \operatorname M_{n}(K)\times K^n\to K^n \)).
Risposte
Non capisco cosa ti turba.
Il caso che esponi qui:
è un caso particolare dell'enunciato generale, che è quello che descrivi sopra e che dici non tornarti.
Se sai dimostrare il caso particolare puoi usare le stesse idee per provare il risultato più generale
[edit: Ahh ho capito cosa ti turba, un'azione è una cosa del tipo $G \times X -> X$
Invece qui è una cosa del tipo $G \times X -> Y$]
Il caso che esponi qui:
"marco2132k":
ma... ciò ha senso solo quando \( f\colon L\to L \) è un endomorfismo. (E allora si ha sì che \( \operatorname{End}(L)\times L\to L \) è un'azione del gruppo additivo \( \operatorname{End}(L) \) su \( L \); e penso sia anche equivalente all'azione \( \operatorname M_{n}(K)\times K^n\to K^n \)).
è un caso particolare dell'enunciato generale, che è quello che descrivi sopra e che dici non tornarti.
Se sai dimostrare il caso particolare puoi usare le stesse idee per provare il risultato più generale
[edit: Ahh ho capito cosa ti turba, un'azione è una cosa del tipo $G \times X -> X$
Invece qui è una cosa del tipo $G \times X -> Y$]
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