[V/F] \(AB\) invertibile, allora \(A\) e \(B\) invertibili
Ciao a tutti! Sono nuovo in questo forum. A causa di motivi familiari ho deovuto assentrmi per un certo periodo dagli studi universitari, carriera universitaria tra l'altro iniziata a ottobre (Matematica a Pavia). Sto facendo di tutto per rimettermi al pari dei miei colleghi, ma le matrici non mi vanno proprio a genio.
Ho la seguente affermazione della quale devo dire se è vera o falsa. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate \(n \times n\) su \(k\). Se \(AB\) è invertibile, allora lo è pure \(A\). Bounus che mi do: e \(B\)?
Allora, alla matrice \(AB\) è associata l'applicazione lineare \(F_{AB} : k^n \to k^n\), e l'invertibilità di \(AB\) si traduce nell'invertibilità funzionale, e quindi nella biettività. Dalla teoria degli insiemi, so che se \(F_{AB}=F_AF_B\) è biunivoca, allora \(F_A\) è suriettiva e \(F_B\) è iniettiva. Per il teorema delle dimensioni \[\ker A = \ker F_A=n -\text{rk} A=n -n=0\] cioè \(F_A\) è pure iniettiva. Quindi \(F_A\) è invertibile, e \(A\) invertibile. Sarei portato nuovamente a concludere similemente a prima e usando il teorema delle dimensioni, che \(\text{rk}B=n\) e quindi \(B\) è invertibile. Giusto?
Ho la seguente affermazione della quale devo dire se è vera o falsa. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate \(n \times n\) su \(k\). Se \(AB\) è invertibile, allora lo è pure \(A\). Bounus che mi do: e \(B\)?
Allora, alla matrice \(AB\) è associata l'applicazione lineare \(F_{AB} : k^n \to k^n\), e l'invertibilità di \(AB\) si traduce nell'invertibilità funzionale, e quindi nella biettività. Dalla teoria degli insiemi, so che se \(F_{AB}=F_AF_B\) è biunivoca, allora \(F_A\) è suriettiva e \(F_B\) è iniettiva. Per il teorema delle dimensioni \[\ker A = \ker F_A=n -\text{rk} A=n -n=0\] cioè \(F_A\) è pure iniettiva. Quindi \(F_A\) è invertibile, e \(A\) invertibile. Sarei portato nuovamente a concludere similemente a prima e usando il teorema delle dimensioni, che \(\text{rk}B=n\) e quindi \(B\) è invertibile. Giusto?
Risposte
Più semplicemente, avrei usato il Teorema di Binet $det(AB)=det(A)*det(B)$ ed il fatto che in $k$ non ci sono divisori di zero.
Come ho detto, sono rimasto un po' indietro rispetto agli altri. Grazie per il modo molto più conciso.
Comunque sia, come ho fatto io va bene lo stesso, è corretto? È che trovo estremamente affascinante il fatto che \[\hom(k^n,k^m) \cong \mathbf{Mat}_k(m,n)\] vorrei approfondire questo lato "strutturalista" sul quale lo stesso S.Lang in prefazione ammette di non insistere troppo. Non sarà certamente il modo più veloce di rimettermi al passo con gli altri
...
Comunque sia, come ho fatto io va bene lo stesso, è corretto? È che trovo estremamente affascinante il fatto che \[\hom(k^n,k^m) \cong \mathbf{Mat}_k(m,n)\] vorrei approfondire questo lato "strutturalista" sul quale lo stesso S.Lang in prefazione ammette di non insistere troppo. Non sarà certamente il modo più veloce di rimettermi al passo con gli altri
...
@ Sergio: [ot]
Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita…
[/ot]
"Sergio":
Ho esitato un po', ma lo dico. A mio parere, il fascino del lato "strutturalista" è un altro: non la possibilità di "mischiare" applicazioni lineari e matrici, ma la possibilità di estendere alle applicazioni lineari i risultati che ottieni lavorando sulle matrici, e viceversa.
Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita…
[/ot]
Va bene, ci ho provato. 
Mi pare di capire comunque che quantomeno il metodo che ho seguito sia corretto, anche se è come uccidere una mosca con un cannone.
@Sergio, grazie per i suggerimenti. Sono conscio che sia una piccolezza e che mi sto emozionando per poco.
PS: Perché "hai esitato"? (Lo chiedo anche per quello che ha detto @gugo82.)
Mi pare di capire comunque che quantomeno il metodo che ho seguito sia corretto, anche se è come uccidere una mosca con un cannone. @Sergio, grazie per i suggerimenti. Sono conscio che sia una piccolezza e che mi sto emozionando per poco.
PS: Perché "hai esitato"? (Lo chiedo anche per quello che ha detto @gugo82.)
Comunque il tuo metodo andava bene. E non mi sembra tu abbia usato cannoni, semplicemente hai usato una teoria diversa per dimostrare qualcosa relativa alle matrici.
Nota che non serviva fare riferimento alle matrici per dimostrare che per le applicazioni lineari tra spazi vettoriali della stessa dimensione, iniettivo implica suriettivo e viceversa.
Infatti, se l'applicazione lineare \(f\colon \mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^{n}\) è iniettiva allora \( \{ \mathbf{f}_i = f\mathbf{e}_i\}\) è lineramente indipendente per ogni base \(\{\mathbf{e}_i\}\). Siccome lo spazio immagine ha dimensione \(n\), \( \{ \mathbf{f}_i\}\) è una base. Pertanto l'immagine è l'intero codominio.
Il viceversa deriva dal fatto che se l'applicazione lineare non è iniettiva allora la dimensione dell'immagine è sempre minore di quella del dominio. Infatti, se \(f\mathbf{v} = f\mathbf{w}\) allora deve valere una uguaglianza del tipo \(\alpha_1 f\mathbf{e}_1 + \dotsb + \alpha_n f\mathbf{e}_n = \mathbf{0}\) dove gli \(\alpha_i\) non sono tutti \(0\). Quindi se l'immagine ha la stessa dimensione del dominio allora la funzione deve essere iniettiva.
Nota che non serviva fare riferimento alle matrici per dimostrare che per le applicazioni lineari tra spazi vettoriali della stessa dimensione, iniettivo implica suriettivo e viceversa.
Infatti, se l'applicazione lineare \(f\colon \mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^{n}\) è iniettiva allora \( \{ \mathbf{f}_i = f\mathbf{e}_i\}\) è lineramente indipendente per ogni base \(\{\mathbf{e}_i\}\). Siccome lo spazio immagine ha dimensione \(n\), \( \{ \mathbf{f}_i\}\) è una base. Pertanto l'immagine è l'intero codominio.
Il viceversa deriva dal fatto che se l'applicazione lineare non è iniettiva allora la dimensione dell'immagine è sempre minore di quella del dominio. Infatti, se \(f\mathbf{v} = f\mathbf{w}\) allora deve valere una uguaglianza del tipo \(\alpha_1 f\mathbf{e}_1 + \dotsb + \alpha_n f\mathbf{e}_n = \mathbf{0}\) dove gli \(\alpha_i\) non sono tutti \(0\). Quindi se l'immagine ha la stessa dimensione del dominio allora la funzione deve essere iniettiva.
@vict85
Sì, certo che si poteva fare. In sostanza quello che hai fatto tu è quello di dimostrare che un'applicazione lineare da \(k^n\) in sé è iniettiva se e solo se suriettiva senza la necessità di passare prima per il teorema delle dimensioni, come nel mio corso penso sia stato fatto. Grazie, perché è interessante.
Sì, certo che si poteva fare. In sostanza quello che hai fatto tu è quello di dimostrare che un'applicazione lineare da \(k^n\) in sé è iniettiva se e solo se suriettiva senza la necessità di passare prima per il teorema delle dimensioni, come nel mio corso penso sia stato fatto. Grazie, perché è interessante.
"Sergio":
[quote="kaspar"]Perché "hai esitato"? (Lo chiedo anche per quello che ha detto @gugo82.)
Ho esitato perché ognuno affronta lo studio a modo suo.
Quello che ha detto gugo non l'ho capito.[/quote]
Gugo82 si riferiva al fatto che nel forum ci sono degli amanti dell'approccio categoriale molto agguerriti. Comunque anche io preferisco evitare i calcoli il più possibile.
Dubito che a qualcuno piaccia fare tanti calcoli. A me sopratutto poi... Ma in algebra lineare se ne devono fare tanti e per questo semestre ci bisognerà un pochino faticare.
Se trovo e mi metto a fare altri esercizi del tipo vero/falso li metto qui in coda, che ho bisogno di tanto confronto sull'"area tematica" matrici, rango e determinanti. Non pochissimo esattamente...
A me sopratutto poi... Ma in algebra lineare se ne devono fare tanti e per questo semestre ci bisognerà un pochino faticare.Se trovo e mi metto a fare altri esercizi del tipo vero/falso li metto qui in coda, che ho bisogno di tanto confronto sull'"area tematica" matrici, rango e determinanti. Non pochissimo esattamente...
"kaspar":
Se trovo e mi metto a fare altri esercizi del tipo vero/falso li metto qui in coda, …
È meglio se crei un post per ogni esercizio …
Se a voi va bene così, ok. Pensavo di non "inquinare" troppo la sezione con post di esercizi brevi e forse scemi.
Si crea più confusione, a scapito della chiarezza, con tanti esercizi nello stesso thread … inoltre sono più facilmente rintracciabili (soprattutto se il titolo è significativo 
)
)
"gugo82":
Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita…
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa? Con il desiderio/capacità di risolvere un problema in un modo concettuale o con chi fa una questione d'onore dell'avere questo metodo di studio? Tu conosci alcuni di questi modi? Ne hai studiato qualcuno? Cosa ne pensi? Potresti parlarne tecnicamente, dato che mi interessa?
[ot]
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa? [...] Tu conosci alcuni di questi modi? Ne hai studiato qualcuno? Cosa ne pensi? Potresti parlarne tecnicamente, dato che mi interessa?[/quote]Non lo sa nemmeno lui su cosa discorda. Non ti risponderà. Parla, disprezzando me, pensa di disprezzare qualcosa a cui nemmeno si è avvicinato. Ho pure io in tal senso le mie colpe e ne tengo conto.
E poi non ho più voglia di fare e sentire certi discorsi, se no oltre alla noia si aggiunge l'invivibilità di questo forum per chiunque. Voglio costruire qualcosa di interessante invece.
Detto questo ritorno tra le ombre e il silenzio, magari la smetto di sentirmi offeso, o perseguitato, o sminuito...[/ot]
"solaàl":
[quote="gugo82"]Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita...
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa? [...] Tu conosci alcuni di questi modi? Ne hai studiato qualcuno? Cosa ne pensi? Potresti parlarne tecnicamente, dato che mi interessa?[/quote]Non lo sa nemmeno lui su cosa discorda. Non ti risponderà. Parla, disprezzando me, pensa di disprezzare qualcosa a cui nemmeno si è avvicinato. Ho pure io in tal senso le mie colpe e ne tengo conto.
E poi non ho più voglia di fare e sentire certi discorsi, se no oltre alla noia si aggiunge l'invivibilità di questo forum per chiunque. Voglio costruire qualcosa di interessante invece.
Detto questo ritorno tra le ombre e il silenzio, magari la smetto di sentirmi offeso, o perseguitato, o sminuito...[/ot]
@ solaàl:
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa?[/quote]
Con nulla.
Anche perché non ho mai scritto di “essere in disaccordo”.
“Questione d’onore”?
Come ho già detto altrove, aspetto da tempo che qualcuno più esperto di me (diciamo, tra quelli che ne fanno una “questione d’onore”) ne parli con cognizione di causa.
Quel che faccio qui sul forum (come in aula) è mostrare la pluralità degli approcci, che costituisce la vera forza della Matematica, facendo una “questione d’onore” non il privilegiare uno solo di essi, quanto piuttosto il saper scegliere quello più adatto ad ogni problema.
@ Sergio:
Mi riferisco a uscite del genere:
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa? [...] Tu conosci alcuni di questi modi? Ne hai studiato qualcuno? Cosa ne pensi? Potresti parlarne tecnicamente, dato che mi interessa?[/quote]Non lo sa nemmeno lui su cosa discorda. Non ti risponderà. Parla, disprezzando me, pensa di disprezzare qualcosa a cui nemmeno si è avvicinato. Ho pure io in tal senso le mie colpe e ne tengo conto.
E poi non ho più voglia di fare e sentire certi discorsi, se no oltre alla noia si aggiunge l'invivibilità di questo forum per chiunque. Voglio costruire qualcosa di interessante invece.
Detto questo ritorno tra le ombre e il silenzio, magari la smetto di sentirmi offeso, o perseguitato, o sminuito...[/ot][/quote]
"solaàl":
[quote="gugo82"]Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita…
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa?[/quote]
Con nulla.
Anche perché non ho mai scritto di “essere in disaccordo”.
"solaàl":
Con il desiderio/capacità di risolvere un problema in un modo concettuale o con chi fa una questione d'onore dell'avere questo metodo di studio?
“Questione d’onore”?
"solaàl":
Tu conosci alcuni di questi modi? Ne hai studiato qualcuno? Cosa ne pensi? Potresti parlarne tecnicamente, dato che mi interessa?
Come ho già detto altrove, aspetto da tempo che qualcuno più esperto di me (diciamo, tra quelli che ne fanno una “questione d’onore”) ne parli con cognizione di causa.
Quel che faccio qui sul forum (come in aula) è mostrare la pluralità degli approcci, che costituisce la vera forza della Matematica, facendo una “questione d’onore” non il privilegiare uno solo di essi, quanto piuttosto il saper scegliere quello più adatto ad ogni problema.
@ Sergio:
"Sergio":
Quello che ha detto gugo non l'ho capito.
Mi riferisco a uscite del genere:
"Indrjo Dedej":
[ot][quote="solaàl"][quote="gugo82"]Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si offende o perseguitata o sminuita...
Ma scusa il disturbo, tu sei in disaccordo con cosa? [...] Tu conosci alcuni di questi modi? Ne hai studiato qualcuno? Cosa ne pensi? Potresti parlarne tecnicamente, dato che mi interessa?[/quote]Non lo sa nemmeno lui su cosa discorda. Non ti risponderà. Parla, disprezzando me, pensa di disprezzare qualcosa a cui nemmeno si è avvicinato. Ho pure io in tal senso le mie colpe e ne tengo conto.
E poi non ho più voglia di fare e sentire certi discorsi, se no oltre alla noia si aggiunge l'invivibilità di questo forum per chiunque. Voglio costruire qualcosa di interessante invece.
Detto questo ritorno tra le ombre e il silenzio, magari la smetto di sentirmi offeso, o perseguitato, o sminuito...[/ot][/quote]
[ot]@gugo82
Non conosco tutta la storia precedente e nemmeno mi interessa a questo punto. Sono appena arrivato, però lasciati dire che l'uscita
Poi credo che @Indrjo Dedej non sarebbe nemmeno intervenuto in questa discussione se tu avessi evitato certi modi. E nemmeno credo che lui lo abbia voluto tanto dopo il tuo post. Una provocazione la tua in una discussione che non la meritava?[/ot]
Non conosco tutta la storia precedente e nemmeno mi interessa a questo punto. Sono appena arrivato, però lasciati dire che l'uscita
"gugo82":potevi tranquillamente evitartela. E non mi ha fatto del tutto piacere un intervento simile, ma fate finta che non lo abbia detto.
Dillo, ma a bassa voce, altrimenti c’è gente che si sente offesa o perseguitata o sminuita...
Poi credo che @Indrjo Dedej non sarebbe nemmeno intervenuto in questa discussione se tu avessi evitato certi modi. E nemmeno credo che lui lo abbia voluto tanto dopo il tuo post. Una provocazione la tua in una discussione che non la meritava?[/ot]
@ kaspar: [ot]Appunto: non conosci.[/ot]
[ot]
Grazie mille ragazzi. Alla prossima.
"gugo82":Non credo che ciò giustifichi certe uscite.[/ot]
Appunto: non conosci.
Grazie mille ragazzi. Alla prossima.
@ kaspar:
[ot]Ti fossi visto scrivere ciò che mi sono visto scrivere io, cambieresti idea.
Perciò, quando non conosci, evita.[/ot]
"kaspar":Non credo che ciò giustifichi certe uscite.[/ot][/quote]
[ot][quote="gugo82"]
Appunto: non conosci.
[ot]Ti fossi visto scrivere ciò che mi sono visto scrivere io, cambieresti idea.
Perciò, quando non conosci, evita.[/ot]
"kaspar":
Ciao a tutti! Sono nuovo in questo forum. A causa di motivi familiari ho deovuto assentrmi per un certo periodo dagli studi universitari, carriera universitaria tra l'altro iniziata a ottobre (Matematica a Pavia). Sto facendo di tutto per rimettermi al pari dei miei colleghi, ma le matrici non mi vanno proprio a genio.
Continua così, secondo me stai recuperando molto bene.
Ho la seguente affermazione della quale devo dire se è vera o falsa. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate \(n \times n\) su \(k\). Se \(AB\) è invertibile, allora lo è pure \(A\). Bounus che mi do: e \(B\)?
Immagino sia stato detto, ma l'invertibilità di \(B\) è immediata, se \(A\) è invertibile; infatti, detta \(C=AB\), allora \(C\) è invertibile per ipotesi, e se anche \(A\) lo è, \(B=CA^{-1}\) è il prodotto di matrici invertibili.
\(F_{AB}=F_AF_B\) è biunivoca, allora \(F_A\) è suriettiva [...] cioè \(F_A\) è pure iniettiva.
Questo mi è piaciuto, perché centra il punto chiave. Non è sempre vero che una applicazione lineare ingettiva è automaticamente surgettiva; questa è una proprietà degli spazi vettoriali di dimensione finita. Ad esempio, considerando lo spazio vettoriale delle successioni di numeri reali, le applicazioni
\[T(x_1, x_2, x_3, \ldots)=(0, x_1, x_2, x_3, \ldots)
\]
e
\[
S(x_1, x_2, x_3, \ldots)=(x_2, x_3, x_4, \ldots)\]
sono l'una ingettiva e non surgettiva, e l'altra surgettiva e non ingettiva. E difatti, la loro composizione \(S\circ T\) è invertibile, pur se entrambi i fattori non lo sono.
[ot]
(Per fortuna analisi mi è più naturale e immediata nella comprensione (sarà il prof come la trasmette) e riesco a svolgere gli esercizi con una certa sicurezza, fare le dimostrazioni in maniera autonoma e costruirmi controesempi. Programmazione è un altro paio di maniche, ma sto ingranando la marcia con i primi risultati.)
Quelli più grandi di me dicono che è normale non capire nulla all'inizio, ma non so quanto ciò possa essere vero, e sensato.
Certo, ciò non allevia il mio sconforto. Neanche in esercizi semplici sento di avere un minimo di sicurezza, quelli che i miei compagni dicono essere facili perché "ci sono da fare solo due/tre conti".[/ot]
"dissonance":Grazie per l'incoraggiamento, sopratutto perché spesso ho una sensazione non lieve di capire nulla o troppo poco, che "il pavimento" sotto i miei piedi non sia così solido. E questo non fa altro che mettermi una certa angoscia e disperazione addosso. Il tempo corre, sto agendo parallelamente recuperando l'assenza iniziale (un mese e più) e frequentando le lezioni cercando di comprendere, ma è parecchio difficile dato il mio percorso non lineare. E ciò mi fa sentire abbastanza stupido. I professori non mi sono di grosso aiuto per quanto riguardo la trasmissione della conoscenza: più che altro mi vedo costretto a fare da me tutto, giacché dalle lezioni non riesco a trarre nulla di solido e sicuro, con tutti i difetti e la lentezza che ne conseguono.
Continua così, secondo me stai recuperando molto bene.
(Per fortuna analisi mi è più naturale e immediata nella comprensione (sarà il prof come la trasmette) e riesco a svolgere gli esercizi con una certa sicurezza, fare le dimostrazioni in maniera autonoma e costruirmi controesempi. Programmazione è un altro paio di maniche, ma sto ingranando la marcia con i primi risultati.)
Quelli più grandi di me dicono che è normale non capire nulla all'inizio, ma non so quanto ciò possa essere vero, e sensato.
Certo, ciò non allevia il mio sconforto. Neanche in esercizi semplici sento di avere un minimo di sicurezza, quelli che i miei compagni dicono essere facili perché "ci sono da fare solo due/tre conti".[/ot]
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