Equazione fasci di piani
ciao! sto studiando i fasci di piani e di rette, ma ho qualche dubbio.
Il libro di testo (Algebra lineare e geometria cartesiana di A. basile) afferma che dati i piani TT e TT', i piani di un fascio F sono tutti quelli che hanno come equazione cartesiana:
$v(ax+by+cz+d)+u(a'x+b'y+c'z+d')=0$
e fin qui ci sto.
Poi afferma che i piani di F distinti da TT sono quelli di equazione
$h(ax+by+cz+d)+(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $h=v/u$ con $u!=0$
e analogamente i piani distinti da TT' sono quelli
$(ax+by+cz+d)+t(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $t=u/v$ con $v!=0$
e già mi sorge un dubbio: che differeenc'è tra queste 3 equazioni?
Preso un esercizio poi, esso dice:
Dati i piani TT:$x+y-z+2=0$ e TT':$2x-y+5=0$ distinti e non paralleli e i punti P=(-2,1,1) e Q=(-1,3,2), l'equazione del fascio può essere scritta come
$(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$
Imponendo il passaggio per P si ottiene $0+n0=0$ che vale $AAn in RR$
mentre imponendo quello per Q si ottiene $2+n0=0$ per nessun valore di n e conclude dicendo che allora P appartiene sia a TT sia a TT' mentre Q appartiene solo a TT' che è l'unico non rappresentato da
$(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$ (ma che significa che è l'unico non rappresentato? è perchè compare con n?)
per cercare di capire, invece dell'equazione che suggeriva lui, ho scritto la generica
$v(x+y-z+2)+u(2x-y+5)=0$
e ho ottenuto, imponendo il passaggio per P e Q, rispettivamente $0v+0u=0$ (che ho interpretato, come affermava lui, che P appartiene sia a TT che a TT') e $2v+0u=0$ (che però non so come interpretare esattamente in quanto l'unica soluzione è la coppia [0,u] al variare di $u in RR$)
quello che cerco di capire è: qual'è la ferenza tra le tre possibili formule del fascio di piani, se ho fatto bene a provare la generica invece di quello che suggeriva lui e se sì, come devo interpretare $2v+0u=0$...mi potete aiutare?
Grazie!!!
P.S. spero di aver scritto bene tutte le formule...scusate se scrivo TT al posto di pi greco ma non trovavo il simbolo...
Il libro di testo (Algebra lineare e geometria cartesiana di A. basile) afferma che dati i piani TT e TT', i piani di un fascio F sono tutti quelli che hanno come equazione cartesiana:
$v(ax+by+cz+d)+u(a'x+b'y+c'z+d')=0$
e fin qui ci sto.
Poi afferma che i piani di F distinti da TT sono quelli di equazione
$h(ax+by+cz+d)+(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $h=v/u$ con $u!=0$
e analogamente i piani distinti da TT' sono quelli
$(ax+by+cz+d)+t(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $t=u/v$ con $v!=0$
e già mi sorge un dubbio: che differeenc'è tra queste 3 equazioni?
Preso un esercizio poi, esso dice:
Dati i piani TT:$x+y-z+2=0$ e TT':$2x-y+5=0$ distinti e non paralleli e i punti P=(-2,1,1) e Q=(-1,3,2), l'equazione del fascio può essere scritta come
$(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$
Imponendo il passaggio per P si ottiene $0+n0=0$ che vale $AAn in RR$
mentre imponendo quello per Q si ottiene $2+n0=0$ per nessun valore di n e conclude dicendo che allora P appartiene sia a TT sia a TT' mentre Q appartiene solo a TT' che è l'unico non rappresentato da
$(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$ (ma che significa che è l'unico non rappresentato? è perchè compare con n?)
per cercare di capire, invece dell'equazione che suggeriva lui, ho scritto la generica
$v(x+y-z+2)+u(2x-y+5)=0$
e ho ottenuto, imponendo il passaggio per P e Q, rispettivamente $0v+0u=0$ (che ho interpretato, come affermava lui, che P appartiene sia a TT che a TT') e $2v+0u=0$ (che però non so come interpretare esattamente in quanto l'unica soluzione è la coppia [0,u] al variare di $u in RR$)
quello che cerco di capire è: qual'è la ferenza tra le tre possibili formule del fascio di piani, se ho fatto bene a provare la generica invece di quello che suggeriva lui e se sì, come devo interpretare $2v+0u=0$...mi potete aiutare?
Grazie!!!
P.S. spero di aver scritto bene tutte le formule...scusate se scrivo TT al posto di pi greco ma non trovavo il simbolo...
Risposte
"alex170":
... dati i piani TT e TT', i piani di un fascio F sono tutti quelli che hanno come equazione cartesiana:
(1) $v(ax+by+cz+d)+u(a'x+b'y+c'z+d')=0$
e fin qui ci sto.
Poi afferma che i piani di F distinti da TT sono quelli di equazione
(2) $h(ax+by+cz+d)+(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $h=v/u$ con $u!=0$
e analogamente i piani distinti da TT' sono quelli
(3) $(ax+by+cz+d)+t(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $t=u/v$ con $v!=0$
e già mi sorge un dubbio: che differeenc'è tra queste 3 equazioni?
Hai questi due piani $Pi$ e $Pi'$.
La (1) rappresenta l'equazione di tutti i piani del fascio, cioè di tutti i piani passanti per $r$.
Ciò significa che, scelti due numeri reali $u,v$ qualsiasi, ottieni, sostituendo, l'equazione di un piano del fascio.
La (2) rappresenta l'equazione di tutti i piani del fascio tranne il piano $Pi$.
Ciò significa che, scelto un numero reale $h$ qualsiasi, ottieni, sostituendo, l'equazione di un piano del fascio, ma non potrai mai ottenere $Pi$.
E analogamente per la (3).
E' più chiaro adesso?
ah cavolo! e certo, no?! 
ma una cosa: invece l'equazione $0v+0u=0$ come devo considerarla? perchè se è $0+0v=0$ allora è $AAv in RR$ e quindi il punto appartiene al piano, anzi, ad entrambi i pianio perchè qualsiasi v soddisfa tutte le eqauzioni ma se è l'altra?
ma una cosa: invece l'equazione $0v+0u=0$ come devo considerarla? perchè se è $0+0v=0$ allora è $AAv in RR$ e quindi il punto appartiene al piano, anzi, ad entrambi i pianio perchè qualsiasi v soddisfa tutte le eqauzioni ma se è l'altra?
Scusami, ma non ho capito la domanda. Puoi formularla meglio? 
Comunque se vuoi sapere se un punto appartiene o meno ad un piano, basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione del piano e verificare se l'equazione è soddisfatta.
Comunque se vuoi sapere se un punto appartiene o meno ad un piano, basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione del piano e verificare se l'equazione è soddisfatta.
"alex170":
Imponendo il passaggio per P si ottiene $0+n0=0$ che vale $AAn in RR$
mentre imponendo quello per Q si ottiene $2+n0=0$ per nessun valore di n e conclude dicendo che allora P appartiene sia a TT sia a TT' mentre Q appartiene solo a TT' che è l'unico non rappresentato da
$(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$
per cercare di capire, invece dell'equazione che suggeriva lui, ho scritto la generica
$v(x+y-z+2)+u(2x-y+5)=0$
e ho ottenuto, imponendo il passaggio per P e Q, rispettivamente $0v+0u=0$ (che ho interpretato, come affermava lui, che P appartiene sia a TT che a TT') e $2v+0u=0$ (che però non so come interpretare esattamente in quanto l'unica soluzione è la coppia [0,u] al variare di $u in RR$)
nel senso, il libro usa $(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$ e arriva a dire che $0+n0=0$ (che indica che P appartiene sia a TT che a TT' perchè per qualunque valore di $n$ essa è verificata) e che $2+n0=0$ (cioè che Q appartiene solo a TT' perchè essa è impossibile $AAn in RR$ e infatti TT' è l'unico che non è rappresentato con $(x+y-z+2)+n(2x-y+5)=0$ come mi hai spiegato). E ok!
Io ho seguito il secondo metodo usando cioè l'equazione generica del fascio con $v$ e $u$.
Ottengo perciò $0v+0u=0$ (quindi P appartiene sia a TT che a TT' perchè essa è verificate $AA u,v in RR$) e $2v+0u=0$...questa però che vuol dire? è verificata $AA u in RR hArr v=0$...ma $(u,v) !=0$ per forza quindi è impossibile...ma allora che vuol dire ai fini dell'appartenenza al piano? dovrebbe voler dire la stessa cosa di prima cioè che $Q in$TT', no?
"alex170":
Io ho seguito il secondo metodo usando cioè l'equazione generica del fascio con $v$ e $u$.
Ottengo perciò $0v+0u=0$ (quindi P appartiene sia a TT che a TT' perchè essa è verificate $AA u,v in RR$) e $2v+0u=0$...questa però che vuol dire? è verificata $AA u in RR hArr v=0$...ma $(u,v) !=0$ per forza quindi è impossibile...ma allora che vuol dire ai fini dell'appartenenza al piano? dovrebbe voler dire la stessa cosa di prima cioè che $Q in$TT', no?
Secondo me, ti stai perdendo in un bicchier d'acqua
Allora, l'equazione (di tutti i piani) del fascio è:
(1) $v(ax+by+cz+d)+u(a'x+b'y+c'z+d')=0$
Imponendo l'appartenenza del punto, ottieni $2v+2u=0$.
Questo vuol dire che il punto appartiene al piano del fascio se e solo se $v=0$, cioè se la (1) si riduce a
(2) $u(a'x+b'y+c'z+d')=0$
Ora, come hai detto tu, $u!=0$ e quindi la (2) non è altro che l'equazione di $Pi'$.
Quindi abbiamo scoperto che il punto appartiene solo a $Pi'$ (che è quello che avevi trovato prima per altre vie).
Spero di aver compreso bene le tue perplessità e soprattutto di aver risposto. Ciao!
Signore ti ringrazio! Certo! Che idiota che sono! Grazie mille! Odio questa materia e spero tanto di riuscire a passare l'esame...Grazie ancora!!
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