Urgente ex. endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabile
Salve a tutti mi aiutate a risolvere quest'esercizio? allora vi do la traccia:
Sia f l'endomorfismo dello spazio vettoriale euclideo standrd $RR^4$ rappresentato nel riferimento $R=((1,0,1,0); (0,0,1,0); (-1,1,0,1); (0,0,1,-1))$ dalla seguente matrice
$( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , -2 ) )$
(1)Determinare gli autovalori e gli autospazi di f.
allora dunque gli autovalori che io ho trovato sono -2,1,-1,0 tutti e quattro con molteplicità algebrica uguale a quella algebrica quindi f è diagonalizzabile e l'autospazio (f,-2)=((1,-3,1,2)) ; l'autospazio rispetto a (f,1)=((1,0,0,0) ; l'autospazio rispetto a (f,-1)=((1,-2,0,0)) e l'autospazio rispetto a (f,0)=((1,-1,-1,0)).
(2)Si provi che f è ortognalmente diagonalizzabile.
allora dunque per provare che questo endomorfismo è ortogonalmente diagonalizzabile prenod un riferimento $R=((1,-3,1,2);(1,0,0,0);(1,-2,0,0);(1,-1,-1,0))$ dato da tutti gli autospazi, ora per provare che è ortogoalmente diagonalizzabile devo provare che questi vettori sono a due a due ortogonali vero??? io l'ho provato a fare e mo viene che questo rifeimento non è ortogonale quindi l'endomorfismo non è ortogonalmente diagonalizzabile ... giusto???
(3)Si determini un riferimento ortonormale di autovettori per f.
Allora io ho preso sempre il riferimento R formato da quei quattro vettori e ho usato Gram-Schmidt e poi dal riferimento ottenuto vado a normalizzare e così ottengo un riferimento ortonormale ... giusto???
[mod="cirasa"]Ho aggiunto qualche tag per le formule. Adesso il messaggio è più chiaro.[/mod]
Sia f l'endomorfismo dello spazio vettoriale euclideo standrd $RR^4$ rappresentato nel riferimento $R=((1,0,1,0); (0,0,1,0); (-1,1,0,1); (0,0,1,-1))$ dalla seguente matrice
$( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , -2 ) )$
(1)Determinare gli autovalori e gli autospazi di f.
allora dunque gli autovalori che io ho trovato sono -2,1,-1,0 tutti e quattro con molteplicità algebrica uguale a quella algebrica quindi f è diagonalizzabile e l'autospazio (f,-2)=((1,-3,1,2)) ; l'autospazio rispetto a (f,1)=((1,0,0,0) ; l'autospazio rispetto a (f,-1)=((1,-2,0,0)) e l'autospazio rispetto a (f,0)=((1,-1,-1,0)).
(2)Si provi che f è ortognalmente diagonalizzabile.
allora dunque per provare che questo endomorfismo è ortogonalmente diagonalizzabile prenod un riferimento $R=((1,-3,1,2);(1,0,0,0);(1,-2,0,0);(1,-1,-1,0))$ dato da tutti gli autospazi, ora per provare che è ortogoalmente diagonalizzabile devo provare che questi vettori sono a due a due ortogonali vero??? io l'ho provato a fare e mo viene che questo rifeimento non è ortogonale quindi l'endomorfismo non è ortogonalmente diagonalizzabile ... giusto???
(3)Si determini un riferimento ortonormale di autovettori per f.
Allora io ho preso sempre il riferimento R formato da quei quattro vettori e ho usato Gram-Schmidt e poi dal riferimento ottenuto vado a normalizzare e così ottengo un riferimento ortonormale ... giusto???
[mod="cirasa"]Ho aggiunto qualche tag per le formule. Adesso il messaggio è più chiaro.[/mod]
Risposte
Il procedimento è giusto.
Non ho controllato i calcoli. Credo comunque che tu abbia sbagliato qualcosa nel calcolo degli autovettori.
Per esempio, il primo vettore del riferimento iniziale, cioè $(1,0,1,0)$, è chiaramente un autovettore relativo all'autovalore $1$.
Essendo l'autospazio corrispondente di dimensione $1$ (per questioni di molteplicità), il vettore $(1,0,1,0)$ genera l'intero autospazio.
Ma tu trovi che l'autospazio relativo all'autovettore $1$ è generato da $(1,0,0,0)$.
E quindi c'è qualcosa che non va.
D'altronde la traccia dice chiaramente che $f$ è ortogonalmente diagonalizzabile, mentre tu trovi che non lo è.
Secondo me, per semplificarsi la vita, conviene passare alla matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ con cui è più facile fare i conti.
Non ho controllato i calcoli. Credo comunque che tu abbia sbagliato qualcosa nel calcolo degli autovettori.
Per esempio, il primo vettore del riferimento iniziale, cioè $(1,0,1,0)$, è chiaramente un autovettore relativo all'autovalore $1$.
Essendo l'autospazio corrispondente di dimensione $1$ (per questioni di molteplicità), il vettore $(1,0,1,0)$ genera l'intero autospazio.
Ma tu trovi che l'autospazio relativo all'autovettore $1$ è generato da $(1,0,0,0)$.
E quindi c'è qualcosa che non va.
D'altronde la traccia dice chiaramente che $f$ è ortogonalmente diagonalizzabile, mentre tu trovi che non lo è.
Secondo me, per semplificarsi la vita, conviene passare alla matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ con cui è più facile fare i conti.
ma per calcolarmi la matrice nella base canonica N=((1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)) devo porre
f(e1)=(e1)
f(e2)=(e1)-(e2)
f(e3)=- (e2)
f(e4)= 2(e2) - (e3) - 2(e4)
poi (x,y,z,t)= x(e1) - y(e2) - z(e3) - t(e4) dove f(x,y,z,t) = x(e1) - y((e1)-(e2)) - z(-(e2)) - t(2(e2)-(e3)-2(e4))
però vado a ricaare x,y,z,t e poi li vado a sostituire in f(x,y,z,t) e poi mano manom vado a costruire le righe della matrice nel riferimento naturale ... giusto?
e poi fatto questo dalla matrice nel rifermento naturale mi calcolo gli autovalori e poi dal riferimento di autovettori che trovo devo provare che è ortogonalmente diagonalizzabile!
f(e1)=(e1)
f(e2)=(e1)-(e2)
f(e3)=- (e2)
f(e4)= 2(e2) - (e3) - 2(e4)
poi (x,y,z,t)= x(e1) - y(e2) - z(e3) - t(e4) dove f(x,y,z,t) = x(e1) - y((e1)-(e2)) - z(-(e2)) - t(2(e2)-(e3)-2(e4))
però vado a ricaare x,y,z,t e poi li vado a sostituire in f(x,y,z,t) e poi mano manom vado a costruire le righe della matrice nel riferimento naturale ... giusto?
e poi fatto questo dalla matrice nel rifermento naturale mi calcolo gli autovalori e poi dal riferimento di autovettori che trovo devo provare che è ortogonalmente diagonalizzabile!
Se $e_1,e_2,e_3,e_4$ sono i vettori della base canonica, allora non puoi fare così, perchè $A$ è la matrice associata alla base $R$ e non alla base canonica.
Forse ti conviene tornare a rivedere come si calcola la matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi diverse.
Ti invito a scrivere i tuoi messaggi con le formule (clic). Non è difficile, usa il MathML per cominciare.
Vedrai che i tuoi messaggi saranno molto più chiari.
Forse ti conviene tornare a rivedere come si calcola la matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi diverse.
Ti invito a scrivere i tuoi messaggi con le formule (clic). Non è difficile, usa il MathML per cominciare.
Vedrai che i tuoi messaggi saranno molto più chiari.
allora ho fatto come dicevi te mi sono calcolata la matrice nella base canonica N=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)] in pratica ho posto f(1,0,1,0)=(1,0,0,0)
f(0,0,1,0)=(1,-1,0,0) f(-1,1,0,1)=(0,-1,0,0) f(0,0,1,-1)=(0,2,-1,-2)
(x,y,z,t)= a(1,0,1,0)+ b(0,0,1,0)+ c(-1,1,0,1)+ d(0,0,1,-1)
quindi mi ricavo che a=x+y b=-x-2y+z+t c=y d=-t+y
f(x,y,z,t)= a(1,0,0,0)+ b(1,-1,0,0)+ c(0,-1,0,0)+ d(0,2,-1,-2)= (-y+z+t, x+3y-z-3t, t-y, 2t-2y)
quindi nella base canonica ottengo:
f(1,0,0,0)=(0,1,0,0)
f(0,1,0,0)=(-1,3,-1,-2)
f(0,0,1,0)=(1,-1,1,0)
f(0,0,0,1)=(1,-3,1,2) queste sono le colonne della matrice in N
andandomi a cercare gli autovalori ottendo che sono t=0,2,1,3.
con a(f,0)=[(0,1,0,1)] ; a(f,2)=[(0,0,0,0)] ; a(f,1)=[(1,0,1,0)] ; a(f,3)=[(0,0,0,0)]
Allora poi mi prendo il riferimento formato da autovettori R=[(0,1,0,1),(1,0,1,0)] i vettori all'interno sono ortogonali quindi f è ortogonalmente diagonalizzabile.
ora per trovare un riferimento ortonormale divido questi vettori per la loro lunghezza quindi R=[(1/2,0,1/2,0)] è un riferimento ortonormale ... va bene il procedimento dell'esercizio?
f(0,0,1,0)=(1,-1,0,0) f(-1,1,0,1)=(0,-1,0,0) f(0,0,1,-1)=(0,2,-1,-2)
(x,y,z,t)= a(1,0,1,0)+ b(0,0,1,0)+ c(-1,1,0,1)+ d(0,0,1,-1)
quindi mi ricavo che a=x+y b=-x-2y+z+t c=y d=-t+y
f(x,y,z,t)= a(1,0,0,0)+ b(1,-1,0,0)+ c(0,-1,0,0)+ d(0,2,-1,-2)= (-y+z+t, x+3y-z-3t, t-y, 2t-2y)
quindi nella base canonica ottengo:
f(1,0,0,0)=(0,1,0,0)
f(0,1,0,0)=(-1,3,-1,-2)
f(0,0,1,0)=(1,-1,1,0)
f(0,0,0,1)=(1,-3,1,2) queste sono le colonne della matrice in N
andandomi a cercare gli autovalori ottendo che sono t=0,2,1,3.
con a(f,0)=[(0,1,0,1)] ; a(f,2)=[(0,0,0,0)] ; a(f,1)=[(1,0,1,0)] ; a(f,3)=[(0,0,0,0)]
Allora poi mi prendo il riferimento formato da autovettori R=[(0,1,0,1),(1,0,1,0)] i vettori all'interno sono ortogonali quindi f è ortogonalmente diagonalizzabile.
ora per trovare un riferimento ortonormale divido questi vettori per la loro lunghezza quindi R=[(1/2,0,1/2,0)] è un riferimento ortonormale ... va bene il procedimento dell'esercizio?
E' davvero difficile leggere il tuo messaggio.
Puoi modificarlo e aggiungere i tag per le formule?
Puoi modificarlo e aggiungere i tag per le formule?
$ ( ( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 , -3 ),( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 0 , -2 , 0 , 2 ) ) $ allora ho fatto come dicevi te mi sono calcolata la matrice nella base canonica N=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)] in pratica ho posto f(1,0,1,0)=(1,0,0,0)
f(0,0,1,0)=(1,-1,0,0) f(-1,1,0,1)=(0,-1,0,0) f(0,0,1,-1)=(0,2,-1,-2)
(x,y,z,t)= a(1,0,1,0)+ b(0,0,1,0)+ c(-1,1,0,1)+ d(0,0,1,-1)
mettendo a sistema mi ricavo che:
a=x+y
b=-x-2y+z+t
c=y
d=-t+y
f(x,y,z,t)= a(1,0,0,0)+ b(1,-1,0,0)+ c(0,-1,0,0)+ d(0,2,-1,-2)= (-y+z+t, x+3y-z-3t, t-y, 2t-2y)
quindi nella base canonica ottengo:
f(1,0,0,0)=(0,1,0,0)
f(0,1,0,0)=(-1,3,-1,-2)
f(0,0,1,0)=(1,-1,1,0)
f(0,0,0,1)=(1,-3,1,2)
dunque la matrice in N $ ( ( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 , -3 ),( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 0 , -2 , 0 , 2 ) ) $
andandomi a cercare gli autovalori ottendo che sono t=0,2,1,3.
dovel'autosazio per l'autovalore 0 è [(0,1,0,1)] ; l'autospazio per l'autovalore 2 è [(0,0,0,0)] ; l'autspazio per l'autovalore 1 è [(1,0,1,0)] ; l'autospazio per l'autovalore 3 è [(0,0,0,0)]
prendo il riferimento formato da autovettori R=[(0,1,0,1),(1,0,1,0)] i vettori all'interno sono ortogonali quindi f è ortogonalmente diagonalizzabile.
ora per trovare un riferimento ortonormale divido questi vettori per la loro lunghezza quindi R=[(1/2,0,1/2,0)] è un riferimento ortonormale ... va bene il procedimento dell'esercizio?
f(0,0,1,0)=(1,-1,0,0) f(-1,1,0,1)=(0,-1,0,0) f(0,0,1,-1)=(0,2,-1,-2)
(x,y,z,t)= a(1,0,1,0)+ b(0,0,1,0)+ c(-1,1,0,1)+ d(0,0,1,-1)
mettendo a sistema mi ricavo che:
a=x+y
b=-x-2y+z+t
c=y
d=-t+y
f(x,y,z,t)= a(1,0,0,0)+ b(1,-1,0,0)+ c(0,-1,0,0)+ d(0,2,-1,-2)= (-y+z+t, x+3y-z-3t, t-y, 2t-2y)
quindi nella base canonica ottengo:
f(1,0,0,0)=(0,1,0,0)
f(0,1,0,0)=(-1,3,-1,-2)
f(0,0,1,0)=(1,-1,1,0)
f(0,0,0,1)=(1,-3,1,2)
dunque la matrice in N $ ( ( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 , -3 ),( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 0 , -2 , 0 , 2 ) ) $
andandomi a cercare gli autovalori ottendo che sono t=0,2,1,3.
dovel'autosazio per l'autovalore 0 è [(0,1,0,1)] ; l'autospazio per l'autovalore 2 è [(0,0,0,0)] ; l'autspazio per l'autovalore 1 è [(1,0,1,0)] ; l'autospazio per l'autovalore 3 è [(0,0,0,0)]
prendo il riferimento formato da autovettori R=[(0,1,0,1),(1,0,1,0)] i vettori all'interno sono ortogonali quindi f è ortogonalmente diagonalizzabile.
ora per trovare un riferimento ortonormale divido questi vettori per la loro lunghezza quindi R=[(1/2,0,1/2,0)] è un riferimento ortonormale ... va bene il procedimento dell'esercizio?
Non ho controllato i tuoi conti.
Il procedimento comunque è giusto.
Supponiamo che la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica sia quella che hai trovato tu.
L'autospazio relativo all'autovalore $0$ è giusto.
Quello relativo all'autovalore $2$, no. Devi trovare un autospazio di dimensione $1$ (perchè la molteplicità geometrica di un autovalore è almeno $1$ e non supera la molteplicità geometrica $1$).
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è ok.
L'autospazio relativo all'autovalore $3$, no, per lo stesso discorso di prima.
Comunque per le formule, devi usarle per scriverle tutte, non solo per rappresentare le matrici.
Il procedimento comunque è giusto.
Supponiamo che la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica sia quella che hai trovato tu.
L'autospazio relativo all'autovalore $0$ è giusto.
Quello relativo all'autovalore $2$, no. Devi trovare un autospazio di dimensione $1$ (perchè la molteplicità geometrica di un autovalore è almeno $1$ e non supera la molteplicità geometrica $1$).
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è ok.
L'autospazio relativo all'autovalore $3$, no, per lo stesso discorso di prima.
Comunque per le formule, devi usarle per scriverle tutte, non solo per rappresentare le matrici.
ok grazie mille! 
ma per calcolarmi le componenti di (1,0,10) in R come devo fare?
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