Esame: Matrice con parametro k
A= $ ( ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , k ),( 1 , 2 , -3 ) ) $ B= $ ( ( 1 ),( k-1 ),( k ) ) $
1) per quali valori del parametro reale k la matrice A è invertibile?
2) risolvere il sistema Ax=b al variare del parametro reale k
3) disegnare il grafico della funzione g(k)=rango A
alla prima domanda ho risposto che la matrice non è invertibile perchè il determinante è uguale a zero.
alle altre 2 domande però non ho saputo rispondere mi aiutate a capire che devo fare?
grazie mille
1) per quali valori del parametro reale k la matrice A è invertibile?
2) risolvere il sistema Ax=b al variare del parametro reale k
3) disegnare il grafico della funzione g(k)=rango A
alla prima domanda ho risposto che la matrice non è invertibile perchè il determinante è uguale a zero.
alle altre 2 domande però non ho saputo rispondere mi aiutate a capire che devo fare?
grazie mille
Risposte
ho calcolato il determinante della matrice completa ed è rango 3
mentre della matrice incompleta è rango 2
mentre della matrice incompleta è rango 2
come hai fatto a calcolarti il rango delle due matrici se ci sta k incognita?
ciao scusa a me hanno insegnato che per vedere il rango devo calcolare il determinante della matrice A e poi quello di Ab usando cramer.. ma infatti ho sbagliato perchè il compito non è andato bene.. ho chiesto all'insegnante una spiegazione di come avrei dovuta svolgerla ma ha detto non mi ricordo. assurdo se non lo sa lei come faccio a saper svolgerla io.. vabbè cmq voglio capire come si svolge se non vi disturbo me lo spiegate per favore? grazie mille
Il rango di A è sempre 2 perché qualsiasi sia il valore di k le prime due righe sono indipendenti e la prima e la terza sono uguali (cosa che rende il determinante automaticamente 0). I primi due non sono paralleli perché 1 2 e 2 0 non lo sono.
Per quanto riguarda invece la matrice del sistema se $k=1$ allora il rango del sistema è 2 e quindi le soluzioni dipenderanno da un parametro $t$. Se $k$ è un altro valore allora si ha che $x + 2y -3y$ deve essere uguale sia a 1 che a k e quindi è impossibile.
Per quanto riguarda invece la matrice del sistema se $k=1$ allora il rango del sistema è 2 e quindi le soluzioni dipenderanno da un parametro $t$. Se $k$ è un altro valore allora si ha che $x + 2y -3y$ deve essere uguale sia a 1 che a k e quindi è impossibile.
"vict85":
Il rango di A è sempre 2 perché qualsiasi sia il valore di k le prime due righe sono indipendenti e la prima e la terza sono uguali (cosa che rende il determinante automaticamente 0). I primi due non sono paralleli perché 1 2 e 2 0 non lo sono.
Per quanto riguarda invece la matrice del sistema se $k=1$ allora il rango del sistema è 2 e quindi le soluzioni dipenderanno da un parametro $t$. Se $k$ è un altro valore allora si ha che $x + 2y -3y$ deve essere uguale sia a 1 che a k e quindi è impossibile.
ciao scusa ma per cortesia non potresti farmi qualche passaggio, lo sò che il regolamento non lo permette ma ti giuro che non sto capendo niente.. forse con qualche esempio pratico sarebbe più comprensibile.. scusa ancora per il disturbo e grazie mille...
gisy88 non ci sono precisi passaggi sono delle intuizioni, il massimo che puoi fare di passaggio è importi k=1 alcolarti il rango!
"m4551":
gisy88 non ci sono precisi passaggi sono delle intuizioni, il massimo che puoi fare di passaggio è importi k=1 alcolarti il rango!
ti ho chiesto dei passaggi perchè un ragazzo miu aveva detto di risolverlo con il teorema di rouchè capelli ma non riuscivo a svolgerlo
k=1 è risultato dai termini noti?
adesso quindi dovrei svolgere normalmente per k=1 e per k $ != $ 1?
il teorema di rouchè capelli dice che se il rango della matrice incompleta è diverso da quella della completa il sistema NON ammette soluzione.
Adesso provo a farlo io, ti premetto però che per le 3° domanda non ho idea di come fare. Non ho mai studiato questi grafici.
A tra poco
Adesso provo a farlo io, ti premetto però che per le 3° domanda non ho idea di come fare. Non ho mai studiato questi grafici.
A tra poco
"m4551":
il teorema di rouchè capelli dice che se il rango della matrice incompleta è diverso da quella della completa il sistema NON ammette soluzione.
Adesso provo a farlo io, ti premetto però che per le 3° domanda non ho idea di come fare. Non ho mai studiato questi grafici.
A tra poco
ok grazie mille
con rouchè capelli il sistema risulta essere impossibile.
"m4551":
gisy88 non ci sono precisi passaggi sono delle intuizioni, il massimo che puoi fare di passaggio è importi k=1 alcolarti il rango!
No, la mia era la risposta completa e non capisco cosa non capite.
Solo perché adesso conoscete metodi nuovi non significa che dovete dimenticare i risultati fatti alle superiori.
Se avete un sistema in cui avete:
${(x + 2y -2z = 1),(2x + 0y + kz = k-1),(x +2y -2z = k):}$
Ricavate $k = 1$ eguagliando prima e terza equazione (se $k$ è diversa da 1 allora il sistema è impossibile). Dopo di che arrivate al sistema:
${(x + 2y -2z = 1),(2x + 0y + 0z = 0),(x +2y -2z = 1):}$
Da cui $x=0$ e $y = (1+2z)/2$.
Ovviamente essendo 1° e 3° uguali il rango è al massimo 2 ed essendo 1° e 2° ovviamente non paralleli è di rango 2.
"m4551":
come hai fatto a calcolarti il rango delle due matrici se ci sta k incognita?
Alle volte ci sono cose che valgono indipendentemente dal parametro...Per esempio il vettore $(1,2,1)$ non è parallelo a nessun vettore della forma $(0,0,k)$ indipendentemente da $k$. Calcolare il rango, oltre che farlo attraverso la riduzione della matrice, può essere fatto trovando il rango del sistema di vettori se appare evidente. Inoltre con un po' di calcolo letterale si può anche ridurre la matrice.
Rouché capelli lo usi per dire che se $k$ non è $1$ allora il sistema è impossibile. Anche se se ne potrebbe fare anche a meno.
P.S: se k=1 allora è indeterminato.
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