Determinare un'applicazione lineare
Buonasera a tutti! Volevo chiedere una cosa...
Come si fa a determinare un'applicazione lineare sapendo da quali vettori è generato il nucleo?
Cioè se per esempio devo determinare un'applicazione lineare $f: R^4 -> R^3$ il cui nucleo è generato da $(1, 2, 3, 4)$ e $(0, 1, 1, 1)$, come devo procedere?
Come si fa a determinare un'applicazione lineare sapendo da quali vettori è generato il nucleo?
Cioè se per esempio devo determinare un'applicazione lineare $f: R^4 -> R^3$ il cui nucleo è generato da $(1, 2, 3, 4)$ e $(0, 1, 1, 1)$, come devo procedere?
Risposte
Prendi i due punti $(1,2,3,4)$ e $(0,1,1,1)$ e altri due punti indipendenti (sei in $R^4$).
Questi formano una base di $R^4$. Una applicazione lineare è univocamente determinata quando sono note le immagini di una base.
Dato che $(1,2,3,4)$ e $(0,1,1,1)$ appartengono al nucleo, la loro immagine deve essere il nullo di $R^3$:
f(1,2,3,4)=(0,0,0)
f(0,1,1,1)=(0,0,0)
Ora prendi gli altri due punti indipendenti e inventati l'immagine di tali punti.
Poi determina come si esprime il generico vettore di $R^4$ nel riferimento trovato ($(1,2,3,4)$ , $(0,1,1,1)$ e gli altri punti indipendenti).
successivamente trovi l'immagine f(x,y,z,t) (Ricorda che una applicazione lineare è un omomorfismo).
Fine.
Questi formano una base di $R^4$. Una applicazione lineare è univocamente determinata quando sono note le immagini di una base.
Dato che $(1,2,3,4)$ e $(0,1,1,1)$ appartengono al nucleo, la loro immagine deve essere il nullo di $R^3$:
f(1,2,3,4)=(0,0,0)
f(0,1,1,1)=(0,0,0)
Ora prendi gli altri due punti indipendenti e inventati l'immagine di tali punti.
Poi determina come si esprime il generico vettore di $R^4$ nel riferimento trovato ($(1,2,3,4)$ , $(0,1,1,1)$ e gli altri punti indipendenti).
successivamente trovi l'immagine f(x,y,z,t) (Ricorda che una applicazione lineare è un omomorfismo).
Fine.