Metrica sup e metrica sup troncata.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sia \( (X,\tau_X) \) compatto. E sia \( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) lo spazio metrico delle funzioni continue da \( X \) a \( Y \). Dimostra che \( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) è completo se e solo se \( ( \mathcal{C}(X,Y),\overline{d}_{\infty} ) \)
Dove \( \overline{d}_{\infty}(f,g)= \min \{d_{\infty}(f,g),1\} \)

Dubbio 1) Da per scontato che \( Y \) è uno spazio metrico ma non lo dice. O si può dedurre?

Detto ciò, le soluzioni dicono una cosa che non mi convince.
\( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) è completo se e solo se \( ( \mathcal{C}(X,Y),\overline{d}_{\infty} ) \) poiché hanno le stesse successioni di Cauchy. Infatti più generalmente dati \( d_1 \) e \( d_2 \) due distanze su un insieme \( Z \) tale che
a) \( \forall z,w \in Z \), abbiamo \( d_1(z,w) \leq 1 \) se e solo se \( d_2(z,w) \leq 1\)
b) Se \( d_1(z,w) \leq 1 \) allora \( d_1(z,w)= d_2(z,w) \)
Abbiamo che una data una successione \( (z_n) \in Z^{\mathbb{N}}\) che è \(d_1\)-Cauchy, allora è \( d_2\)-Cauchy.
Infatti dato \( \epsilon >0 \) abbiamo che esiste \( N \) tale che \( \forall n,m> N \) risulta \( d_1(z_n,z_m) \leq \min(\epsilon,1) \), in particolare \( d_1(z_n,z_m)=d_2(z_n,z_m) \leq \epsilon \).
Prendendo quindi \( Z= \mathcal{C}(X,Y) \) e \( d_1= d_{\infty} \) e \( d_2= \overline{d}_{\infty} \) e vice versa. Il risultato segue.

Secondo me \( d_{\infty} \) e \(\overline{d}_{\infty} \) non soddisfano la condizione a).
Infatti date \( f,g \in \mathcal{C}(X,Y) \), se \(\overline{d}_{\infty}(f,g)= \min\{d_{\infty}(f,g),1\} \leq 1 \) non implica che \( d_{\infty}(f,g) \leq 1 \).
Tant'é che scelti \(d_{\infty}(f,g)>1 \) abbiamo che \(\overline{d}_{\infty}(f,g)=1 \).

[otta96]

Si, è sottinteso che $Y$ sia uno spazio metrico.
Se ci fai caso la a) non viene usata nella dimostrazione, solo la b), quindi il fatto che il tuo esempio non soddisfa la a) non importa.
Per inciso se $Y$ è completo, anche $C(X, Y) $ lo è, se vuoi puoi dimostrarlo.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Okay ma anche la b) è sbagliata per lo stesso motivo. Secondo me dovrebbero essere tutte strette le disugualgianze, sia nella a) che nella b) che nell'argomentazione sotto.

[otta96]

No, perché dici così?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"otta96":No, perché dici così?

Beh se \( \overline{d}_{\infty}(f,g) = \min \{ d_{\infty}(f,g) ,1 \} = 1 \leq 1 \) non implica che \( \overline{d}_{\infty}(f,g)= d_{\infty}(f,g)= 1 \).
Potrei avere nuovamente che \( d_{\infty}(f,g)>1 \) e \( \overline{d}_{\infty}(f,g) = 1 \).
Però se le disuguaglianze sono strette
quindi
\( \overline{d}_{\infty}(f,g) = \min \{ d_{\infty}(f,g) ,1 \} < 1 \) allora \( \overline{d}_{\infty}(f,g)= d_{\infty}(f,g)< 1 \).

Edit:
Prendi \( X=Y=[0,2] \) con la topologia euclidea e \( f (x)= 2 \) e \( g(x)= 0 \) \( \forall x \in [0,2] \) due funzioni costanti e quindi continue.
Abbiamo che
\( d_{\infty}(f,g)= \sup_{x \in [0,2] } d(f(x),g(x))= 2 \) e \( \overline{d}_{\infty}(f,g)= \min\{ \sup_{x \in [0,2] } d(f(x),g(x))= 2,1 \}=1 \)
Quindi \( \overline{d}_{\infty}(f,g) \leq 1 \) ma \( \overline{d}_{\infty}(f,g) \neq d_{\infty}(f,g) \).

Edit 2:
Non sto dicendo che se le condizioni a) e b) sono formulate con "\( \leq \)" il risultato generale è errato.
Sto dicendo che per dimostrare che ogni successione \( \overline{d}_{\infty} \)-Cauchy è anche \( d_{\infty} \)-Cauchy e vice versa, è necessario formulare le condizioni a) e b) con "\(< \) "

[otta96]

Ma $d_1=d_\infty$ e $d_2=\bar{d_\infty}$, quindi non hai $d_1<=1$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"3m0o":
Prendendo quindi \( Z= \mathcal{C}(X,Y) \) e \( d_1= d_{\infty} \) e \( d_2= \overline{d}_{\infty} \) e vice versa. Il risultato segue.

Se non scambio i ruoli di \( d_1 \) e \( d_2 \) ponendo \( d_1= \overline{d}_{\infty} \) \( d_2= d_{\infty} \)
Dimostro solamente che ogni successione \( d_{\infty}\)-Cauchy è \(\overline{d}_{\infty} \)-Cauchy.
Ma non dimostro che una successione \(\overline{d}_{\infty} \)-Cauchy è \( d_{\infty}\)-Cauchy.
E ho bisogno la doppia implicazione per dimostrare che uno spazio è completo se e solo se anche l'altro è completo.

Edit: penso per questo avesse bisogno della condizione a) per non scambiare i ruoli di \( d_1 \) e \( d_2 \), ma così come è formulata è errata. Se scambi tutti i \( \leq \) con i \( < \) sia la a) che la b) è vera e allora non ti serve scambiare i ruoli di \( d_1 \) e \( d_2 \). Ma se la a) è falsa allora devi scambiare i ruoli.

[otta96]

Si è vero, oppure prendi un numero più piccolo di $1$ e lasci il $<=$.