Compattezza per base topologica.
Sia \( (X,\tau_X) \) uno spazio topologico, e \( \tau_X^B \) una base di \( \tau_X \). Sia \( A \) un qualche sottoinsieme. Supponiamo che per ogni copertura di \( A \) con insiemi della base \( \tau_X^B \) esiste una sottocopertura finita, allora \( A \) è compatto.
Sia \( (U_i)_{i \in I } \) una copertura di \( A \) con \( U_i \in \tau_{A,X} \) dove \( \tau_{A,X} \) è topologia indotta. Abbiamo che per ogni \( i \in I \), \( U_i = A \cap V_i \) per qualche \( V_i \in \tau_X \).
Abbiamo pertanto che
\[ A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i = \bigcup_{i \in I} V_i \cap A \subset \bigcup_{i \in I} V_i \]
Ora per ogni \( i \in I \) abbiamo che \( V_i = \bigcup_{j \in J_i} W_{ij} \) dove \( W_{ij} \in \tau_X^B \)
Pertanto abbiamo che
\[ A \subset \bigcup_{i \in I, j \in J_i} W_{ij} \]
è una copertura di una base. Pertanto esiste una sottocopertura finita e dunque degli indici \( (i_1,j_1) , \ldots , (i_k,j_k) \) tale che
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{k} W_{i_{n}j_{n}} \]
Ora sono tentato di dire che
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{k} V_{i_{n}} \]
e quindi
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{k} U_{i_{n}} \]
Il mio dubbio è nell'affermare \( A \subset \bigcup_{n=1}^{k} V_{i_{n}} \), mi sembra falso, mi sembra come dire che \( V_{i_{n}}=W_{i_{n}j_{n}} \) che è falso.
Sia \( (U_i)_{i \in I } \) una copertura di \( A \) con \( U_i \in \tau_{A,X} \) dove \( \tau_{A,X} \) è topologia indotta. Abbiamo che per ogni \( i \in I \), \( U_i = A \cap V_i \) per qualche \( V_i \in \tau_X \).
Abbiamo pertanto che
\[ A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i = \bigcup_{i \in I} V_i \cap A \subset \bigcup_{i \in I} V_i \]
Ora per ogni \( i \in I \) abbiamo che \( V_i = \bigcup_{j \in J_i} W_{ij} \) dove \( W_{ij} \in \tau_X^B \)
Pertanto abbiamo che
\[ A \subset \bigcup_{i \in I, j \in J_i} W_{ij} \]
è una copertura di una base. Pertanto esiste una sottocopertura finita e dunque degli indici \( (i_1,j_1) , \ldots , (i_k,j_k) \) tale che
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{k} W_{i_{n}j_{n}} \]
Ora sono tentato di dire che
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{k} V_{i_{n}} \]
e quindi
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{k} U_{i_{n}} \]
Il mio dubbio è nell'affermare \( A \subset \bigcup_{n=1}^{k} V_{i_{n}} \), mi sembra falso, mi sembra come dire che \( V_{i_{n}}=W_{i_{n}j_{n}} \) che è falso.
Risposte
È sufficiente che $W_(i_n,j_n)\subseteq V_(i_n)$ per poter concludere quella inclusione, ed è vera.
"otta96":
È sufficiente che $W_(i_n,j_n)\subseteq V_(i_n)$ per poter concludere quella inclusione, ed è vera.
Sono un cretino
Scusa era proprio banale... ma quando si faccio delle sessioni di studio intense ad un certo punto inizio a fare errori proprio scemi per stanchezza...
Tranquillo, capita.
Nessun errore scemo, 3m0o. Non ci sono errori scemi, è così che si impara.
E anche se ci fossero, l'unica cosa importante è che se si fanno durante l'esame ci si corregga subito dopo.
"dissonance":
Nessun errore scemo, 3m0o. Non ci sono errori scemi, è così che si impara.
Beh... insomma avere \( A_i \subset B_i \) per ogni \( i \) e \( X \subset \bigcup_i A_i \) e domandarsi se è vero \( X \subset \bigcup_i B_i \) è un errore un po' scemo
Okay l'errore era generato dal fatto che non vedevo al volo che \( W_{ij} \subset V_i \), però questo segue dal fatto che \( W_{ij} \) sono elementi della base e \( V_i = \bigcup_{j \in J_i} W_{ij} \).
"otta96":
E anche se ci fossero, l'unica cosa importante è che se si fanno durante l'esame ci si corregga subito dopo.
Penso sia quello a cui ambiscono tutti gli studenti del mondo
Detto ciò per concludere è più corretto scrivere
\[ A \subseteq \bigcup_{n=1}^{k} U_{i_n} \]
oppure
\[ A = \bigcup_{n=1}^{k} U_{i_n} \]
La prima.
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