Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho una matrice del tipo $((1,-1,5),(1,-1,2),(0,0,1))$
Mi viene chiesto di diagonalizzarla..
Ho trovato le soluzioni $\lambda$ =1 e $\lambda$ = 0
Ho trovato gli autospazi e relativi autovettori..nella matrice che vado ad associare a B'B (B' = B1+B2) trovo che è 2x3 e non 3x3 come dovrebbe invece essere. Siamo in $R^3$ ma il polinomio mi fornisce solamente due soluzioni che sono appunto 0 e 1..come faccio per diagonalizzare la matrice??
tra pochissimo ho l'esame di matematica base e non so se risolvo bene questi sistemi..
allora :
$ x/2 - 3y= k-z $
$ 6y-2z=x-2 $
ho calcolato la caratteristica dell'incompleta (1) che nn dipende da k e della completa ( che per $ k=/=1 $ è 2------ per $ k=1 $ è 1)
quindi seguendo il teorema di capelli il quale mi obbliga a lavorare su caratteristiche uguali, io devo sostituire 1 al k e poi portarmi un'incognita a destra e fare i calcoli... giusto? però avrete ...
salve. Avrei un dubbio riguardo la dipendenza lineare di alcuni vettori.
La definizione più meno è : I vettori $x1,x2, ... ,xn$ sono linearmente dipendenti se esistono dei coefficenti c1, c2, ... cn non tutti nulli tali chi $cx1 + c2x2+ ... + cnxn = 0$.
Ma con questo non tutti nulli significa che alcuni di questi coefficenti possono essere 0?
Es. :
x1=(1,2,3)
x2=(2,6,4)
x3=(4,11,9)
$2x1+3x2-2x3=0$
I vettori sono linearmente dipendenti.
Ma se per esempio ho ...
ciao!!...
non so come venire a capo di questo esercizio... (non mi sembra difficile ma non riesco proprio a risolverlo...)
devo determinare la conica che passa per i punti: A(1;0) B(1;-1) C(2;2) e tangente alla retta di equazione $ 3x-y+1=0 $
nel punto D(0;1).
risultato[ $ 7x^2-6xy-y^2-3x+5y-4 =0 $ ]
ho provato con i fasci di coniche ( e credo sia questo il modo per arrivare alla soluzione) utilizzando per la costruzione le varie rette passanti per i punti, ma non riesco proprio ad arrivare ...
starò uscendo di testa ma non mi trovo!
il testo dice dati $ U=(0,0,1,1)(1,0,0,0)(0,1,0,-1) $ e $ W=(0,0,1,-1)(0,1,0,0)(1,0,0,1) $ trovare $ U nn W $
allora se faccio la matrice del sistema di U mi viene:
$ | ( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ) | $ che ha rango 3 perche esiste una matrice 3x3 con det non nullo, quindi dim(U)=3
però se faccio il sistema:
$ { ( z+t=0 ),( x=0 ),( y-t=0 ):} $ mi viene che le variabili dipendono tutte da t quindi dim(U)=1
DOVE SBAGLIO???
Sia F:R^3 ->R^3 l'endomorfismo tale che f (x,y,z)= (-y,x,2x+y+3z)
Determinare una base per kerf(F) e una sua dimensione.
Determinare una base per Im(F) e una sua rappresentanza.
Chi mi può dare un aiuto??
il mio problema con questo esercizio e che so in teoria come si fa ma non riesco ad applicare nella pratica:
data la retta $ r: x-y+1=2x-2y+z $
il punto $ P(-1, 2, 0) $
e il piano $ A : 2x-y+z-1=0 $
a)Determinare l’equazione del piano C passante per P parallelo alla retta r e ortogonale al piano A
b)Verificare che i punti R(1, -2, 1), S(2, -3, 2), T(-1, 1, 2) sono non allineati e determinare l’equazione del piano B che li contiene.
c)Sia s la retta contenente i punti S1(2,3,-1) e ...
Giorno a tutti, è qualche giorno che cerco spiegazioni e soluzioni, ovunque, ma non ne sono venuto a capo. ho questo problema sui sottospazii:
Si consideri S = [(1; 1;-1; 1); (0; 1; 0; 2); (3; 1;3;-1)]. Detto H il sottospazio vettoriale di R^4 generato da S, si determini la dimensione ed una base
di H. Che dimensione avrà un sottospazio K tale che $ R^4 H oplus K $
Non riesco a capire come determinare il sottospazio di S, le basi le so calcolare ma anche il resto mi difficile.
Devo ...
Mi è stato proposto quest'esercizio:
Trovare, nello spazio euclideo standard $E^3$ , l'equazione parametrica della retta passante per il punto P= (1, 3, 0) ed ortogonale al piano di equazione cartesiana x+y+2z=0
Io ho pensato che basta porre come P zero il punto P e come vettore direttore (1, 1, 2) è sufficente per la condizione di ortogonalità?
Grazie!
salve ragazzi, probabilmente è una cosa banale, ma non riesco a capire perchè ogni spazio metrico è uno spazio di hausdorff (rispetto alla topologia indotta dalla metrica)... potete darmi qualche input? in questo momento la mia mente è...diciamo... obnubilata!
Devo risolvere un sistema lineare con un parametro, o meglio discutere al variare del parametro la compatibilità, devo trovare il rango della matrice dei coefficiente (il sistema è $ 3x-2y=0, 2x+kz=k, x+2y -z=-1,$) e il rango della matrice completa ed imporre che sono uguali ? Per scrivere le eventuali soluzioni devo usare Cramer ?
Allora mi trovo in difficoltà con questo esercizio :
Ho la conica data dall'intersezione di una sfera con un piano:
Eq Sfera: $x^2+y^2+z^2-6x-4y-2z+6=0<br />
Eq Piano: $z=1
Devo trovare il cono che proietta la Conica dall'Origine $O=(0,0,0)
Allora io pensavo di prendere un punto generico sulla conica e trovare la retta generica che passa per il vertice e la conica...
Ma Come trovo il punto generico di una conica in E3 ?
Grazie Infinite !
Salve a tutti vorrei qualche certezza su questa tipologia di esercizi.Svolgo l'esercizio:
Data l'applicazione $f:R^3rarr :R^3$ tale che
$ f(x,y,z)=(3x+2y-3z,2y,x+2y-z)$
1) Determinare una base per Ker f e Im f
2) Dire se l'applicazione è diagonalizzabile
3) Determinare una base di $:R^3$ costituita da autovettori per f.
1)Allora io mi studio il determinante della matrice
$A= | ( 3 , 2 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ) | $
Questo è uguale a zero quindi ho che il rango di è uguale a due e che quindi anche la ...
Salve a tutti.
Volevo porvi una domanda che mi è sorta mentre studiavo gli omeomorfismi e le proprietà di omotopia.
Ho trovato il classico esempio di omeomorfismo che trasforma un toro in una tazza di caffè.
Qualcosa mi sa spiegare qual è questa applicazione? Come si esprime analiticamente?
A me non sembra difficile ma non riesco ad arrivare ad un'espressione analitica.
Grazie mille dell'attenzione.
Volevo chiedervi una mano per vedere se tutto fila liscio
Considero su $RR$ la topologia [tex]$\mathcal{A} =\{ ]n,+\infty[ : n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\mathbb{R}, \emptyset}\}[/tex]<br />
Devo provare che è localmente compatto e localmente connesso.<br />
<br />
Proviamo che ogni punto $x in RR$ ammette un intorno compatto. Preso $x in RR$ un suo intorno (che suppongo aperto) sarà $V=]n,\infty[$, quindi devo provare che $V$ è compatto.<br />
Prendo un ricoprimento di $V$; [tex]$V= \bigcup_{i \in I} A_i[/tex]. Sicuramente esiste $k in I$ tale che [tex]$A_k=]\bar{n},+\infty[[/tex] con $\bar(n)
Ragazzi avrei dei dubbi riguardo la risoluzione di questi due esercizi di algebra lineare.
1) Sia L: R^3 ---> R^3 l'applicazione lineare rappresentata (nella base canonica) dalla matrice a A = $ ( ( 0 , 4 , 0 ),( 0 , -4 , 0 ),( 7 , -8 , 1 ) ) $ .
• Determinare equazioni parametriche e cartesiane per i sottospazi kerL e ImL, di R^3.
Per quantoi riguarda il kerL non ho avuto alcun problema infatti basta risolvere il sistema di equazioni cartesiane:
4y = 0
-4y = 0
7x - 8y + z = 0
e si trovano le equazioni ...
ciao a tutti!!!!
ho qualche problema con la parte finale di questo esercizio. il testo è:
in $E^3$ si consideri la superficie Q luogo dei punti P=(x,y,z) equidistanti da F=(2,1,1) e dal piano di equazione x=0. si riconosca Q e se ne scriva la forma canonica.
dunque...ho trovato Q uguagliando x alla distanza di P da F e ho ottenuto $y^2+z^2-4x-2y-4z+9=0$
a questo punto studiando gli invarianti ho visto che si tratta di un paraboloide ellittico (spero di non aver sbagliato!)...il ...
cosa si intende quando c'è questo $ (K,+,*) $ come si leggono in generale?
preso dal libro..
"Spazio vettoriale su un campo $ (K,+,*) $ e' una quaterna $ (K,V,+,*) $..."
Ciao a tutti.
Una domanda banale di sicuro.
Mi trovo ad essere interessato al segno degli autovalori di una matrice: [tex]$AHA$[/tex] e ho diverse ipotesi forti: [tex]$A$[/tex] è simmetrica e definita positiva, [tex]$H$[/tex] è simmetrica. In realtà anche $A^2$ è simmetrica.
L'affermazione è: $AHA$ ha un autovalore positivo $<=>$ anche $H$ lo ha.
Si dovrebbe dedurre dal fatto ...
ci aiutate a risolvere la quadrica z=9-x^2-y^2
bisogna trovare anche l intersezione con il piano z=5
non sappiamo neanche da dove iniziare!!! aiutoooooooooooooo Sad
GRAZIE
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