Dubbio su due esercizi con applicazioni lineari

markolino
Ragazzi avrei dei dubbi riguardo la risoluzione di questi due esercizi di algebra lineare.

1) Sia L: R^3 ---> R^3 l'applicazione lineare rappresentata (nella base canonica) dalla matrice a A = $ ( ( 0 , 4 , 0 ),( 0 , -4 , 0 ),( 7 , -8 , 1 ) ) $ .

• Determinare equazioni parametriche e cartesiane per i sottospazi kerL e ImL, di R^3.

Per quantoi riguarda il kerL non ho avuto alcun problema infatti basta risolvere il sistema di equazioni cartesiane:

4y = 0
-4y = 0
7x - 8y + z = 0

e si trovano le equazioni parametriche per il kerL:

x = t
y = 0
z = -7t

Invece per quanto riguarda l'ImL in teoria dovrei considerare i vettori colonna della matrice e ricavarmi quindi equazioni cartesiane e parametrice. Però sul libro guardando la soluzione considera solamente i vettori colonna (1,-1,-2) e (0,0,1), cioè solamente il secondo e il terzo mentre il primo vettore colonna della matrice non viene considerato, quindi si ricava le equaizoni parametriche:

x = t
y = -t
z = -2t + s

e sostituendo le equazioni cartesiane:

x+y = 0

Però non ho capito perchè non viene preso in considerazione il vettore (0,0,7), qualcuno potrebbe spiegarmelo?


Ecco invece il secondo esercizio:


2) Sia Ak = $ ( ( k+2 , -1 , 0 , 1 ),( 2, -2 , k+1 , 2 ),( k+4 , -3 , k+1 , 3 ) ) $ una matrice dipendente dal parametro k. Si consderi l'applicazione lineare
Lk: R^4 ---> R^3 definita da Lk(x) = Akx.

• Verificare che B = { $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ),( 0 ) ) $ } è una base del nucleo kerL-2 (fissiamo k = -2).

Sulle soluzioni del libro l'ha risolto nel seguente modo:

Essendo i due vettori in B (che indicheremo con b1 e b2) indipendenti è dunque sufficiente verificare che appartengono al nucleo di L-2. A tale fine è sufficiente osservare che A-2 x b1 = 0, A-2 x b2 = 0 (prodotto righe per colonne).

Io invece l'avrei risolto in un altro modo, ovvero avrei preso la matrice A-2 e applicato a quest'ultima l'eliminazione di gauss, a questo punto avrei risolto il sistema risultante e avrei ricavato le equazioni parametriche dalle cartesiane, così mi sarei ricavato una base per il kerA-2 di dimensione 2. A questo punto avrei costruito una matrice contenente B e la base del nucleo e avrei verificato tramite l'eliminazione di gauss la dipendenza lineare tra i vettori b1 e b2 e la base del nucleo.
Non riesco a capire perchè sul libro l'ha risolto così, cioè per verificare che i vettori b1 e b2 appartengano al nucleo di A-2 non bisognerebbe seguire il procedimento da me descritto?

Potreste gentilmente chiarire i miei dubbi? Grazie in anticipo per le eventuali risposte :D

Risposte
mistake89
Per il primo. Se guardi bene la prima colonna e l'ultima sono linearmente dipendenti. Perciò, dovendo essere la base un sistema di vettori lineramente indipendente, prende solo quelli che lo so. Se avessi preso primo e secondo vettore andava bene lo stesso.

markolino
Ok, ma essendo l'applicazione rappresentata nella base canonica in teoria i vettori della matrice non dovrebbero essere tutti indipendenti secondo la definizione di base canonica?

Invece per quanto riguarda il secondo esercizio qualcuno è in grado di aiutarmi?

mistake89
No. La base canonica è composta da vettori indipendenti, ma chi ti assicura che lo siano le loro immagini?.
Pensa ad un'applicazione $f(x,y)=(x,0)$. Cioè un'applicazione costante su $y$. Fai le immagini dei vettori della base canonica (indipendenti) ed ottieni $(0,0),(1,0)$. Questo sono indipendenti?

D'altra parte vale questa regola $dimV=dimKerf+dimImf$ e siccome a te $dimV=dimRR^3=3$ ed hai trovato $dimKerf=1$ si ha necessariamente $dimImF=2$.
Ancora puoi verificare che $rg(A)=2$, cioè la tua matrice ha rango 2, quindi ancora $dimImf=2$.

Ti ho convinta? :)

E poi ricorda che le matrici associate ad un'applicazione lineare lavorano con le componenti rispetto ad una base, non direttamente con dei vettori.

markolino
Sisi mi hai convinto.. Ora rimane il secondo esercizio da chiarire.. :D

markolino
Ho capito anche il secondo esercizio, infatti il ker(A) = x tale che Ax = 0

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