Dimenzione di sottospazio

[lex1531]

starò uscendo di testa ma non mi trovo!
il testo dice dati $ U=(0,0,1,1)(1,0,0,0)(0,1,0,-1) $ e $ W=(0,0,1,-1)(0,1,0,0)(1,0,0,1) $ trovare $ U nn W $
allora se faccio la matrice del sistema di U mi viene:
$ | ( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ) | $ che ha rango 3 perche esiste una matrice 3x3 con det non nullo, quindi dim(U)=3
però se faccio il sistema:
$ { ( z+t=0 ),( x=0 ),( y-t=0 ):} $ mi viene che le variabili dipendono tutte da t quindi dim(U)=1
DOVE SBAGLIO???

[mistake89]

Come calcoli il determinante di una matrice non quadrata?

[lex1531]

ho calcolato una sottomatrice 3x3, tipo le prime 3 colonne ... sbagliatissimo?

[mistake89]

L'hai provato sulla tua pelle, no?

Comunque il rango è effettivamente $3$ (si vede senza applicare nessun calcolo strano) quindi riguarda il sistema.

[lex1531]

quindi la mia teoria delle sottomatrici è esatta! ahahahah

ma il sistema mi sembra terribilmente giusto

[Gi81]

Infatti quel sistema è giusto. Semplicemente, non serve per calcolare $dim(U)$. Serve piuttosto a trovare la dimensione del nucleo.

[mistake89]

scusami, sono andato a rileggere. Non avevo letto "esiste una sottomatrice"

[lex1531]

"mistake89"::oops: scusami, sono andato a rileggere. Non avevo letto "esiste una sottomatrice"

evvai! il punteggio cambia ... lex 1 - mistake 2968176929 mo ti raggiungo!

io però avevo fatto questo procedimento perche in un altro esercizio dove mi dava $ U:{(x,y,z,t) in R^3: x-2y-z=0,2x-y-2z+t=0 } $

per calcolare base e dim ho fatto il sistema e mi veniva $ { ( x=z+2y ),( t=-4y ):} $ quindi visto che tutto dipendeva da 2 variabili la dimenzione era 2 e una base era per esempio : $ (1,0,1,0) (2,1,0,-4) $ e mi trovavo come soluzione!
come mai?
forse perche non è cosi che si passa da una matrice ad un sistema?