Forma canonica paraboloide ellittico
ciao a tutti!!!!
ho qualche problema con la parte finale di questo esercizio. il testo è:
in $E^3$ si consideri la superficie Q luogo dei punti P=(x,y,z) equidistanti da F=(2,1,1) e dal piano di equazione x=0. si riconosca Q e se ne scriva la forma canonica.
dunque...ho trovato Q uguagliando x alla distanza di P da F e ho ottenuto $y^2+z^2-4x-2y-4z+9=0$
a questo punto studiando gli invarianti ho visto che si tratta di un paraboloide ellittico (spero di non aver sbagliato!)...il mio problema è nella forma canonica.
normalmente per mettere una quadrica in forma canonica, cercavo di diagonalizzare la matrice rappresentativa per ottenere solo temrini quadratici. ma in questo caso, penso di doverla mettere nella forma canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2=2pz$ e proprio non so da che parte iniziare!!!!!
sempre di questo tipo di problemi,avevo una variante in cui non mi dava un piano e un punto specifico da utilizzare, ma mi diceva di trovare il luogo dei punti che hanno il rapporto tra la distanza da un piano e la distanza di un punto (appartenente al piano) costante, maggiore di zero, e poi riconoscerla mettendo questa costante uguale a 1.
ho provato a risolverlo scrivendo l'equazione di un piano generico $ax+by+cz+d=0$ e poi prendendo un punto P=((-by-cz-d)/a, y ,z)...ma non sono arrivata a nulla perchè vengono dei conti assurdi!!! vi sembra la strada giusta da percorrere o mi sto perdendo qualche particolare?
grazie mille!!!!
ho qualche problema con la parte finale di questo esercizio. il testo è:
in $E^3$ si consideri la superficie Q luogo dei punti P=(x,y,z) equidistanti da F=(2,1,1) e dal piano di equazione x=0. si riconosca Q e se ne scriva la forma canonica.
dunque...ho trovato Q uguagliando x alla distanza di P da F e ho ottenuto $y^2+z^2-4x-2y-4z+9=0$
a questo punto studiando gli invarianti ho visto che si tratta di un paraboloide ellittico (spero di non aver sbagliato!)...il mio problema è nella forma canonica.
normalmente per mettere una quadrica in forma canonica, cercavo di diagonalizzare la matrice rappresentativa per ottenere solo temrini quadratici. ma in questo caso, penso di doverla mettere nella forma canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2=2pz$ e proprio non so da che parte iniziare!!!!!
sempre di questo tipo di problemi,avevo una variante in cui non mi dava un piano e un punto specifico da utilizzare, ma mi diceva di trovare il luogo dei punti che hanno il rapporto tra la distanza da un piano e la distanza di un punto (appartenente al piano) costante, maggiore di zero, e poi riconoscerla mettendo questa costante uguale a 1.
ho provato a risolverlo scrivendo l'equazione di un piano generico $ax+by+cz+d=0$ e poi prendendo un punto P=((-by-cz-d)/a, y ,z)...ma non sono arrivata a nulla perchè vengono dei conti assurdi!!! vi sembra la strada giusta da percorrere o mi sto perdendo qualche particolare?
grazie mille!!!!
Risposte
Non ho verificato se effettivamente quella che hai ottenuto è l'equazione della quadrica richiesta dall'esercizio. Per quanto riguarda la sua riscrittura nella forma canonica, devi usare il "giochetto" del completamento dei quadrati:
$ (y^2-2y)+(z^2-4z)-4x+9=0 rarr (y^2-2y+1)-1+(z^2-4z+4)-4-4x+9=0 $
ossia:
$ (y-1)^2+(z-2)^2=4(x-1) rarr ((y-1)^2)/4+((z-2)^2)/4=x-1 $
$ (y^2-2y)+(z^2-4z)-4x+9=0 rarr (y^2-2y+1)-1+(z^2-4z+4)-4-4x+9=0 $
ossia:
$ (y-1)^2+(z-2)^2=4(x-1) rarr ((y-1)^2)/4+((z-2)^2)/4=x-1 $
grazie mille! mi ostinavo a cercare qualcosa con la matrice rappresentativa e non avevo proprio pensato di guardare direttamente l'equazione della quadrica!!!!!!
per il secondo nessuno ha qualche idea?
per il secondo nessuno ha qualche idea?
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