[Topologia] Spazio localmente connessi e localmente compatti

[mistake89]

Volevo chiedervi una mano per vedere se tutto fila liscio

Considero su $RR$ la topologia [tex]$\mathcal{A} =\{ ]n,+\infty[ : n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\mathbb{R}, \emptyset}\}[/tex]
Devo provare che è localmente compatto e localmente connesso.

Proviamo che ogni punto $x in RR$ ammette un intorno compatto. Preso $x in RR$ un suo intorno (che suppongo aperto) sarà $V=]n,\infty[$, quindi devo provare che $V$ è compatto.
Prendo un ricoprimento di $V$; [tex]$V= \bigcup_{i \in I} A_i[/tex]. Sicuramente esiste $k in I$ tale che [tex]$A_k=]\bar{n},+\infty[[/tex] con $\bar(n)<=n$ essendo questo un ricoprimento. Allora [tex]$V=\bigcup_{i \in \{k\}} A_i[/tex] ricoprimento finito di $V$.

Può andare? Da ciò deduco che un ricoprimento non deve andare "giusto giusto" sull'insieme, ma può anche uscire un po' fuori, no?

Quanto alla locale connessione, considero $x in RR$. $x$ ha un sistema fondamentale di intorni finito, infatti posto $n_0 in ZZ$ t.c [tex]$n_0 Per cui mi basta provare la locale connessione su questo intorno. Ovviamente tale proprietà è vera perchè due aperti di [tex]$\mathcal{A}[/tex] non possono essere mai disgiunti.

C'è qualche errore o svista colossale?
Grazie!

[dissonance]

"mistake89":Volevo chiedervi una mano per vedere se tutto fila liscio

Considero su $RR$ la topologia [tex]$\mathcal{A} =\{ ]n,+\infty[ : n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\mathbb{R}, \emptyset}\}[/tex]
Devo provare che è localmente compatto e localmente connesso.

Proviamo che ogni punto $x in RR$ ammette un intorno compatto. Preso $x in RR$ un suo intorno (che suppongo aperto) sarà $V=]n,\infty[$, quindi devo provare che $V$ è compatto.
Prendo un ricoprimento di $V$; [tex]$V= \bigcup_{i \in I} A_i[/tex]. Sicuramente esiste $k in I$ tale che [tex]$A_k=]\bar{n},+\infty[[/tex] con $\bar(n)<=n$ essendo questo un ricoprimento. Allora [tex]$V=\bigcup_{i \in \{k\}} A_i[/tex] ricoprimento finito di $V$.

Può andare?

Ok.

Da ciò deduco che un ricoprimento non deve andare "giusto giusto" sull'insieme, ma può anche uscire un po' fuori, no?

:lol: Magari evita di dirlo così, all'esame. Comunque è vero, certo. E' proprio quello di cui si parlava con ViciousGoblin qui.

Quanto alla locale connessione, considero $x in RR$. $x$ ha un sistema fondamentale di intorni finito, infatti posto $n_0 in ZZ$ t.c [tex]$n_0 Per cui mi basta provare la locale connessione su questo intorno. Ovviamente tale proprietà è vera perchè due aperti di [tex]$\mathcal{A}[/tex] non possono essere mai disgiunti.

Ok! Va benissimo. [size=75]Per [tex]n_0[/tex] puoi anche usare il simbolo di "parte intera" (floor) [tex]n_0=\lfloor x \rfloor[/tex]. [/size]

[mistake89]

Grazie dissonance! Sicuramente mi esprimerò meglio però per afferrare il concetto non ho trovato un'espressione migliore