Applicazione lineare dubbi

[sirbasic]

Salve a tutti vorrei qualche certezza su questa tipologia di esercizi.Svolgo l'esercizio:
Data l'applicazione $f:R^3rarr :R^3$ tale che
$ f(x,y,z)=(3x+2y-3z,2y,x+2y-z)$
1) Determinare una base per Ker f e Im f
2) Dire se l'applicazione è diagonalizzabile
3) Determinare una base di $:R^3$ costituita da autovettori per f.

1)Allora io mi studio il determinante della matrice

$A= | ( 3 , 2 , -3 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ) | $
Questo è uguale a zero quindi ho che il rango di è uguale a due e che quindi anche la $Dim Imf = 2$
Dall'equazione dimensionale mi ricavo che $DimKerf= DimR - DimImf$ e quindi $Dimkerf=1$
Quindi dovrei poter trovare una base pe Kerf. Il mio quesito è che se dall'equazione dimensionale ho che $DimKerf=0$ non posso determinare basi per Kerf giusto?
Mi trovo la base risolvendo il sistema

${ ( 3x+2y-3z=0 ),( 2y=0 ),( x+2y-z=0 ):}$ ${ ( x=z ),( y=0 ):}$

Quindi la base Kerf sarà (1,0,1)
La base Im f invece dovrebbe essere (3,0,1) (2,2,2)giusto??

2)Qui sto davvero in crisi...Una matrice è diagonalizzabile se ha tre autovalori reali e distinti. Mi trovo gli autovalori che sono $L=0$ $L=2$ e essendo solo due la matrice non dovrebbe essere diagonalizzabile giusto?

3)Mi trovo gli autovettori sapendo che $(A-L)x=0$ quindi mi svolgo i sistemi prima per $L=0$ e poi per $L=2$ e mi trovo la base ${(1,0,1), (0,3/2,1),(1,-1/2,0)}$

Spero nelle correzioni e nei suggerimenti. Grazie

[Lorin1]

1)Allora ho svolto i calcoli e mi trovo come te, quindi la parte relativa al Kerf e Imf, ti confermo che va bene. Per quanto riguarda la tua domanda sul Kerf, ti rispondo che: se $Kerf={0}$ allora non puoi trovare una base, anche perchè $dimKerf=0$. (basta guardare comunque la definizione di dimensione di un sottospazio).

2)Per quanto riguarda il problema della diagonalizzabilità della matrice, fai attenzione perchè in generale non è vero quello che dici. In generale una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica in ogni autospazio. Se fai caso abbiamo:

$t=0$ allora $m.a.=1=m.g.$ e l'autospazio relativo all'autovalore 0, sarà $A(f,0)=Kerf=[(1,0,1)]$

$t=2$ allora $m.a.=2=m.g.$ in quanto la molteplicità geometrica non è altro che la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 2, cioè $A(f,2)$

per studiarne la dimensione basta studiare il $(M-2I)X=0$ con M matrice associata all'applicazione, e quindi:

$ { x+2y-3z=0 :} => {x=3z-2y:}$ allora $A(f,2)={(-2,1,0) ,(3,0,1)} => dimA(f,2)=2$ quindi la matrice è diagonalizzabile.

e la matrice diagonale avrà questa forma $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $

Tutto chiaro!?

[sirbasic]

grazie penso di si.... in pratica la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica per essere diagonalizzabile! La molteplicità algebrica ci viene data dal grado di lambda e la molteplicità geometrica dal numero di basi studiate tramite l'autospazio di $(A -L)X=0$ vero? L'unica cosa che non riesco a capire è da dove hai ricavato la matrice diagonale. Spero in una tua risposta immediata!

[Lorin1]

Si, però devi essere più preciso per la molteplicità geometrica perchè non è il numero di basi, ma bensì la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore che stai studiando. La matrice diagonale che ti ho scritto si ricava semplicemente dal fatto che: una volta assicurati che la matrice di partenza è diagonalizzabile allora si definisce matrice diagonale relativa al problema in questione, quella matrice che ha tutti zero e sulla diagonale ha gli autovalori trovati. In particolare un autovalore si ripeterà nella matrice, tante volte quanto è il valore della sua molteplicità algebrica. Per questo ho messo due volte il valore $2$ sulla diagonale, perchè per $t=2$ avevamo molteplicità algebrica uguale a due.