Generico endomorfismo assurdo
mi sono imbattuto in questo esercizio che ha a dir poco dell'assurdo.so che ben pochi su questo forum lo sapranno svolgere ma intanto lo posto magari qualcuno risponderà alla mia richiesta d'aiuto
Siano $V={f in RR[x]_4 | f(1)=f^{\prime}(1), f(-1)=2f^{\prime}(1)}$ e $W=L(x-x^2+(2h+3)x^3-x^4,1+x^4)$
cioè $f(1)$ è uguale alla derivata prima di $f(1)$ ed $f(-1)$ è uguale alla derivata prima di $2f(1)$
Nel caso $h=0$ determinare e studiare il generico endomorfismo di $phi$ di $RR[x]_4$ tale che $phi(v)=2v$ per ogni $v in V$, $phi(W)subeW$ e $dim_RR Ker phi>=1$
adesso non riesco a capire da dove metterci mano.cioè da dovunque parta mi trovo dei muri davanti.
ho calcolato la dimensione ed una base di $V$ ed ho visto che è uguale a 3.se considero una base di $W$ che c'ho già avrò che $V+W$ generano tutto $RR[x]_4$.quindi le basi ce le ho. il punto adesso è calcolarmi la matrice associata all'endomorfismo rispetto a queste basi rispettando però le condizioni imposte dal problema.ma cosa mai vorrà dire che la $dim Kerphi>=1$?
cioè se fosse stata pari ad 1 va bene.ma cosa vuol dire quel maggiore uguale?
Siano $V={f in RR[x]_4 | f(1)=f^{\prime}(1), f(-1)=2f^{\prime}(1)}$ e $W=L(x-x^2+(2h+3)x^3-x^4,1+x^4)$
cioè $f(1)$ è uguale alla derivata prima di $f(1)$ ed $f(-1)$ è uguale alla derivata prima di $2f(1)$
Nel caso $h=0$ determinare e studiare il generico endomorfismo di $phi$ di $RR[x]_4$ tale che $phi(v)=2v$ per ogni $v in V$, $phi(W)subeW$ e $dim_RR Ker phi>=1$
adesso non riesco a capire da dove metterci mano.cioè da dovunque parta mi trovo dei muri davanti.
ho calcolato la dimensione ed una base di $V$ ed ho visto che è uguale a 3.se considero una base di $W$ che c'ho già avrò che $V+W$ generano tutto $RR[x]_4$.quindi le basi ce le ho. il punto adesso è calcolarmi la matrice associata all'endomorfismo rispetto a queste basi rispettando però le condizioni imposte dal problema.ma cosa mai vorrà dire che la $dim Kerphi>=1$?
cioè se fosse stata pari ad 1 va bene.ma cosa vuol dire quel maggiore uguale?
Risposte
"mazzy89":
so che ben pochi su questo forum lo sapranno svolgere ma intanto lo posto magari qualcuno risponderà alla mia richiesta d'aiuto
Non mi sembra carino esordire in questo modo, o forse la tua è solo una strategia per avere una risposta immediata?
Il procedimento dovrebbe essere questo:
$phi((1),(0),(0),(-4/3),(3))=2((1),(0),(0),(-4/3),(3))$
$phi((0),(1),(0),(-5/3),(2))=2((0),(1),(0),(-5/3),(2))$
$phi((0),(0),(1),(-2/3),(1))=2((0),(0),(1),(-2/3),(1))$
$phi((-1),(3),(-1),(1),(0))=a((-1),(3),(-1),(1),(0))+b((1),(0),(0),(0),(1))$
$phi((1),(0),(0),(0),(1))=c((-1),(3),(-1),(1),(0))+d((1),(0),(0),(0),(1))$
con $ad-bc=0$. Spero di non aver fatto errori di calcolo. La prima componente si riferisce a $x^4$, ma probabilmente la notazione standard prevederebbe $x^0$.
$phi((1),(0),(0),(-4/3),(3))=2((1),(0),(0),(-4/3),(3))$
$phi((0),(1),(0),(-5/3),(2))=2((0),(1),(0),(-5/3),(2))$
$phi((0),(0),(1),(-2/3),(1))=2((0),(0),(1),(-2/3),(1))$
$phi((-1),(3),(-1),(1),(0))=a((-1),(3),(-1),(1),(0))+b((1),(0),(0),(0),(1))$
$phi((1),(0),(0),(0),(1))=c((-1),(3),(-1),(1),(0))+d((1),(0),(0),(0),(1))$
con $ad-bc=0$. Spero di non aver fatto errori di calcolo. La prima componente si riferisce a $x^4$, ma probabilmente la notazione standard prevederebbe $x^0$.
"weblan":
[quote="mazzy89"]so che ben pochi su questo forum lo sapranno svolgere ma intanto lo posto magari qualcuno risponderà alla mia richiesta d'aiuto
Non mi sembra carino esordire in questo modo, o forse la tua è solo una strategia per avere una risposta immediata?[/quote]
be che ho detto di male!?!?!?!?è la pura verità.esercizi di questo tipo ben pochi su questo forum li saprebbero svolgere.posso mettere la mano sul fuoco senza bruciarmi.
mazzy89, non mi sembra un esercizio impossibile. Ho visto risolvere esercizi ben più complessi, da utenti diversi dal sottoscritto che frequentano questo forum.
"mazzy89":
[quote="weblan"][quote="mazzy89"]so che ben pochi su questo forum lo sapranno svolgere ma intanto lo posto magari qualcuno risponderà alla mia richiesta d'aiuto
Non mi sembra carino esordire in questo modo, o forse la tua è solo una strategia per avere una risposta immediata?[/quote]
be che ho detto di male!?!?!?!?è la pura verità.esercizi di questo tipo ben pochi su questo forum li saprebbero svolgere.posso mettere la mano sul fuoco senza bruciarmi.[/quote]
Beh, senza voler montare su una polemica, a me pare che tu stia peccando di presunzione.
Qui sul forum ci sono persone che la matematica la conoscono davvero, oltre a studenti grandemente appassionati e molto capaci. Si potrebbero fare decine di nomi.
Questo è un esercizio piuttosto standard di algebra lineare, che uno studente medio che abbia preparato bene questo esame -fondamentale- è in grado di risolvere in maniera più o meno agevole.
Non ti sembra quindi di aver un po' esagerato?
"speculor":
mazzy89, non mi sembra un esercizio impossibile. Ho visto risolvere esercizi ben più complessi, da utenti diversi dal sottoscritto che frequentano questo forum.
be infatti io intendo dire che è un esercizio parecchio difficile ma non impossibile e questo si nota (e l'ho notato da parecchi anni su questo forum) dal tempo che passa da quando uno inserisce un esercizio e la risposta relativa all'esercizio guardando poi inoltre anche il numero degli accessi all'argomento.ma ovviamente con questo non voglio offendere a nessuno.ci mancherebbe.se qualcuno si è sentito mancare di rispetto mi scuso.questa (a mio umile parere) è una comunità stupenda fatta di persone preparate e disponibile.Che sia lodato l'inventore di questo forum.
ho capito il procedimento svolto.ma non ho capito esattamente dove entra in gioco la condizione $dim Ker phi>=1$
Dalla condizione $ad-bc=0$ che ho modificato per la seconda volta, essendo rintontito.
"speculor":
Dalla condizione su $a$ e $b$ che nel frattempo ho modificato, avendo inteso male all'inizio.
purtroppo non ho capito perché almeno uno tra $a$ e $b$ deve essere nullo affinché venga verificata la condizione.potresti spiegarmi?ti ringrazio infinitamente tanto per l'attenzione che mi stai prestando.
ps.avevo già fatto i calcoli circa le basi e corrispondono ai tuoi.
Ho di nuovo modificato la condizione, perchè non è detto che i trasformati di quei $2$ vettori debbano essere la stessa combinazione lineare, evidentemente. Prova a vedere se così ti torna.
"speculor":
Ho di nuovo modificato la condizione, perchè non è detto che i trasformati di quei $2$ vettori debbano essere la stessa combinazione lineare, evidentemente. Prova a vedere se così ti torna.
ti ringrazio per la correzione.ma purtroppo mi risulta ancora meno chiaro di prima il motivo di questa scelta di valore per $a,b,c,d$.
partiamo dalla definizione di $dim Ker f$.la dimensione del ker rappresenta il numero di elementi la cui immagine è pari a $0$.se fisso i valori in quel modo ottengo che quelle immagini siano zero?
Il modo più diretto per comprenderla è determinare la rappresentazione matriciale dell'endomorfismo $\phi$ rispetto alla base evidenziata:
$((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,2,0,0),(0,0,0,a,c),(0,0,0,b,d))$
Quindi notare che, se il determinante $8(ad-bc)$ è diverso da zero, allora l'endomorfismo è suriettivo, quindi iniettivo, e il nucleo ha dimensione nulla. La condizione $8(ad-bc)=0$ deve essere impostata per escludere questo caso, in tutti gli altri casi il nucleo ha almeno dimensione $1$.
$((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,2,0,0),(0,0,0,a,c),(0,0,0,b,d))$
Quindi notare che, se il determinante $8(ad-bc)$ è diverso da zero, allora l'endomorfismo è suriettivo, quindi iniettivo, e il nucleo ha dimensione nulla. La condizione $8(ad-bc)=0$ deve essere impostata per escludere questo caso, in tutti gli altri casi il nucleo ha almeno dimensione $1$.
"speculor":
Il modo più diretto per comprenderla è determinare la rappresentazione matriciale dell'endomorfismo $\phi$ rispetto alla base evidenziata:
$((2,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,2,0,0),(0,0,0,a,c),(0,0,0,b,d))$
Quindi notare che, se il determinante $8(ad-bc)$ è diverso da zero, allora l'endomorfismo è suriettivo, quindi iniettivo, e il nucleo ha dimensione nulla. La condizione $8(ad-bc)=0$ deve essere impostata per escludere questo caso, in tutti gli altri casi il nucleo ha almeno dimensione $1$.
ecco grandissimo speculor
. adesso l'ho capito.infatti non ci arrivo a capirlo in quel modo.ti ringrazio tantissimo per l'aiuto.sei stato veramente gentile
Figurati! 
Anzi, scusa se ci sono arrivato, colpevolmente, per "approssimazioni successive". Come ho già scritto, sono non poco rintontito. 
Anzi, scusa se ci sono arrivato, colpevolmente, per "approssimazioni successive". Come ho già scritto, sono non poco rintontito.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo