Calcolo di indice di un campo in un punto singolare
Si consideri, per $P \in S^2$, la proiezione $\pi_P : \mathbb{R}^3 \rightarrow T_P S^2$ sul piano tangente a $S^2$ in $P$.
Sia $X : S^2 \rightarrow TS^2$ il campo di vettori su $S^2$ dato da $X(P)=\pi_P (e_3)$.
I due punti singolari del campo sono $e_3$ e il suo opposto visto che sono gli unici vettori sulla sfera che risultano ortogonali al loro piano tangente.
Devo verificare che il loro indice è 1.
Ho pensato di scegliere come curva l'equatore perchè lì il campo è costante e vale proprio $e_3$. Se $x(u,v)=(cos v cos u, cos v sen u, sen v)$ è la parametrizzazione di $S^2$, allora sull'equatore vale $x_u=(-sen u, cos u, 0)$. Dovrei trovare una determinazione $\phi$ dell'angolo che $x_u$ forma con $e_3$ e verificare che $\phi(1)-\phi(0)=2 pi$, ma a me sembra che quest'angolo sia sempre $\pi/2$.
Dove sbaglio??
Sia $X : S^2 \rightarrow TS^2$ il campo di vettori su $S^2$ dato da $X(P)=\pi_P (e_3)$.
I due punti singolari del campo sono $e_3$ e il suo opposto visto che sono gli unici vettori sulla sfera che risultano ortogonali al loro piano tangente.
Devo verificare che il loro indice è 1.
Ho pensato di scegliere come curva l'equatore perchè lì il campo è costante e vale proprio $e_3$. Se $x(u,v)=(cos v cos u, cos v sen u, sen v)$ è la parametrizzazione di $S^2$, allora sull'equatore vale $x_u=(-sen u, cos u, 0)$. Dovrei trovare una determinazione $\phi$ dell'angolo che $x_u$ forma con $e_3$ e verificare che $\phi(1)-\phi(0)=2 pi$, ma a me sembra che quest'angolo sia sempre $\pi/2$.
Dove sbaglio??
Risposte
Se non sbaglio, la parametrizzazione che hai scelto non va bene perché è singolare proprio nel punto in cui vuoi studiare l'indice!
Prova con le proiezioni stereografiche. Ad occhio, i conti dovrebbero venire lo stesso. Eventualmente, chiedi ancora. Adesso purtroppo devo scappare, quindi non ho tempo di controllare...
Prova con le proiezioni stereografiche. Ad occhio, i conti dovrebbero venire lo stesso. Eventualmente, chiedi ancora. Adesso purtroppo devo scappare, quindi non ho tempo di controllare...
Ovviamente avevo sbagliato.
Conviene la parametrizzazione di Monge [tex]\varphi(x,y) = \left( x, y, \sqrt{1 -x^2 - y^2} \right)[/tex]. Se [tex]P = (x_1, x_2, x_3)[/tex], allora [tex]\pi_P(\mathbf e_3) = \mathbf e_3 - \langle \mathbf e_3, P \rangle P = (-p_1 p_3, - p_2 p_3, 1 - p_3^2)[/tex]. D'altra parte
[tex]\varphi_x(x,y) = \left( 1, 0, - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \right)[/tex], [tex]\varphi_y(x,y) = \left( 0, 1, - \frac{y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \right)[/tex]
sicché restringendoti a [tex]\sigma(t) = \varphi \left( \frac{1}{2} \cos(t), \frac{1}{2} \sin(t) \right) = \left(\frac{1}{2} \cos(t), \frac{1}{2} \sin(t), \frac{\sqrt{3}}{2} \right)[/tex], ottieni
[tex]X(\sigma(t)) = \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t), -\frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t), \frac{1}{4} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t) \varphi_x - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t) \varphi_y[/tex]
Quindi devi calcolare l'indice di [tex]\tilde{X}(x,y) = \left( - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t), - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t) \right)[/tex]. La determinazione continua dell'angolo è quella banale, quindi il risultato è precisamente 1.
Conviene la parametrizzazione di Monge [tex]\varphi(x,y) = \left( x, y, \sqrt{1 -x^2 - y^2} \right)[/tex]. Se [tex]P = (x_1, x_2, x_3)[/tex], allora [tex]\pi_P(\mathbf e_3) = \mathbf e_3 - \langle \mathbf e_3, P \rangle P = (-p_1 p_3, - p_2 p_3, 1 - p_3^2)[/tex]. D'altra parte
[tex]\varphi_x(x,y) = \left( 1, 0, - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \right)[/tex], [tex]\varphi_y(x,y) = \left( 0, 1, - \frac{y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \right)[/tex]
sicché restringendoti a [tex]\sigma(t) = \varphi \left( \frac{1}{2} \cos(t), \frac{1}{2} \sin(t) \right) = \left(\frac{1}{2} \cos(t), \frac{1}{2} \sin(t), \frac{\sqrt{3}}{2} \right)[/tex], ottieni
[tex]X(\sigma(t)) = \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t), -\frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t), \frac{1}{4} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t) \varphi_x - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t) \varphi_y[/tex]
Quindi devi calcolare l'indice di [tex]\tilde{X}(x,y) = \left( - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t), - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t) \right)[/tex]. La determinazione continua dell'angolo è quella banale, quindi il risultato è precisamente 1.
Ok ma mi sa che non ho capito come mi calcola la determinazione continua dell'angolo. A me sembra che l'angolo compreso tra $( - \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(t), - \frac{\sqrt{3}}{4} \sin(t) )$ e $\phi_x=(1,0)$ sia $\pi-t$ oppure $-\pi+t$ a seconda di come scelgo il verso. Non capisco perchè è invece la determinazione banale.
Siccome [tex]X'(\sigma(t)) = (-\cos(t), -\sin(t)) = (\cos(\pi + t), \sin(\pi + t))[/tex]. Quindi il sollevamento è precisamente [tex]\vartheta(t) = \pi + t[/tex]. A questo punto otteniamo [tex]\text{Ind}_{\mathbf e_3}(X) = \frac{1}{2\pi} (\vartheta(2\pi) - \vartheta(0)) = \frac{1}{2 \pi} (3 \pi - \pi) = 1[/tex].
Quando dicevo che la determinazione continua dell'angolo era quella banale, intendevo che a quel punto bastava poca trigonometria per concludere l'esercizio!
Quando dicevo che la determinazione continua dell'angolo era quella banale, intendevo che a quel punto bastava poca trigonometria per concludere l'esercizio!
Ora tutto chiaro; avevo frainteso il significato dell'aggettivo banale eheh!
Grazie mille, ciao!
Grazie mille, ciao!
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