Esercizio sul teorema di Gauss-Bonnet

[GreenLink]

Si consideri $S$ superficie compatta orientata in $\mathbb{R}^3$ non omeomorfa ad una sfera.
Si provi che su $S$ vi sono punti ellittici, iperbolici e a curvatura nulla.

Per il teorema di Gauss-Bonnet, vale che $\int_S K = 2\pi \chi(S)$. Visto che $S$ non è una sfera, $\chi(S) <=0$, quindi sicuramente $K$ non può essere positivo in ogni punto della supericie. Per arrivare alla tesi devo poter dire che non può risultare neanche $K<0$, però non riesco a provarlo.

[maurer]

Siccome [tex]S[/tex] è una superficie ed è compatta allora per forza esistono punti a curvatura gaussiana strettamente positiva (è un teorema molto noto). Di conseguenza, per il tuo ragionamento, dovranno pure esserci punti a curvatura strettamente negativa. E, se assumiamo che [tex]S[/tex] sia una superficie connessa per archi, dovrà seguirne l'esistenza di punti a curvatura nulla.

[GreenLink]

Grazie.
E' un risultato che non ho visto; ha un nome o comunque hai qualche riferimento per poterlo trovare in un libro di geometria differenziale?

[maurer]

Immagino che lo troverai in qualunque testo di geometria differenziale. Io, comunque, lo avevo visto sul Sernesi, Geometria 2, pagg. 312 - 313, Teorema 36.5. Ma è piuttosto semplice: quasi quasi ti proporrei di pensarci come esercizio...

[GreenLink]

Grazie ho trovato la dimostrazione sul Sernesi, ma mi sono accorto che l'avevo anche visto a lezione come lemma per arrivare a parlare della rigidità della sfera.
Grazie mille!