Sottospazi vettoriali e basi

[dennis87]

Ciao a tutti ragazzi,
ho questo esercizio, ho l'insieme A composto da x,y,z, appartenenti ad R^3 tale che x+2y+z=0. Devo vedere se è sottospazio vettoriale e se lo è trovarne una sua base...allora, io per verificare se è sottospazio vettoriale devo dimostrare che il vettore nulla appartiene all'insieme, e questo appartiene, che è chiuso per la somma e per il prodotto per uno scalare, ma questi non capisco come dimostrarli, e inoltre non capisco neanche come trovare una sua base...mi potreste aiutare?
Grazie a tutti...

ps. Dove è il latex?

[Seneca1]

Non capisco... E' forse $A = { (x , y , z) \in RR^3 | x + 2y + z = 0 }$ ?

[dennis87]

si

[Seneca1]

"Seneca":Non capisco... E' forse $A = { (x , y , z) \in RR^3 | x + 2y + z = 0 }$ ?

Il vettore nullo $( 0, 0 , 0 )$ appartiene ad $A$. Infatti è $0 + 2 * 0 + 0 = 0$.

Inoltre devi verificare che $AA lambda_1 , lambda_2 in RR$ e $AA (x , y , z ) , ( x_1, y_1, z_1 ) in RR^3$ , il vettore $lambda_1 ( x , y , z ) + lambda_2 ( x_1, y_1, z_1 ) $ sia ancora un vettore di $A$.

Prova...

[dennis87]

e i valori della x,y,z quali sono?? scusami ma non capisco...

[dennis87]

se moltiplico x+2y+z per uno scalare non nullo, il piano risultante appartiene ancora ad A, giusto? cosi come la somma...

[Seneca1]

"dennis87":e i valori della x,y,z quali sono?? scusami ma non capisco...

Arbitrari... Comunque fissati due vettori $v , w$ di $A subseteq RR^3$ (prima avevo tralasciato la cosa importante; devono essere vettori di $A$) e comunque scelti due numeri reali $lambda_1 , lambda_2$, la combinazione lineare $lambda_1 v + lambda_2 w$ deve appartenere ad $A$. Questo prova che il sottoinsieme $A$ è chiuso rispetto alle operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare.

[Richard_Dedekind]

Se però conosci il cosiddetto teorema di struttura per i sistemi lineari, la prima parte dell'esercizio è gratis...