Elementi diagonali dell'inversa di (X'X)

[kovalevskaya1]

Salve a tutti. Avrei bisogno di suggerimenti riguardo al seguente problema.

X è una matrice reale di dim nxk. Indico con X' la sua trasposta e suppongo che X'X sia invertibile.
Sotto quali condizioni sulla matrice X posso dire che gli elementi diagonali di (X'X)^-1 sono uguali ai reciproci degli elementi diagonali di X'X ?
(ad esempio mi basterebbe avere X'X matrice triangolare)

Spero si capisca, sono nuova e non ho capito come usare il codice.

Grazie a tutti

[Mrhaha]

Ci devo pensare un attimo!

[byob12]

una delle condizioni dovrebbe essere $n>k$

[vict85]

"kovalevskaya":Salve a tutti. Avrei bisogno di suggerimenti riguardo al seguente problema.

X è una matrice reale di dim nxk. Indico con X' la sua trasposta e suppongo che X'X sia invertibile.
Sotto quali condizioni sulla matrice X posso dire che gli elementi diagonali di (X'X)^-1 sono uguali ai reciproci degli elementi diagonali di X'X ?
(ad esempio mi basterebbe avere X'X matrice triangolare)

Spero si capisca, sono nuova e non ho capito come usare il codice.

Grazie a tutti

Un elemento della diagonale è la moltiplicazione della riga \(n\) per la colonna \(n\). Di fatto quindi sulla diagonale nel caso considerato hai il prodotto vettoriale delle colonne.

In generale hai che l'elemento \(ij\) è il prodotto vettoriale della colonna $i$ con la matrice $j$.

La matrice \((X^T) X \) ha come inversa \(X^{-1} (X^T)^{-1} \) cioè \(X^{-1} (X^{-1})^T \) (sempre che l'inversa abbia senso).

Quindi la condizione corrisponde a quella che il prodotto vettoriale delle colonne si inverta per inversione della matrice. Per altre considerazioni ci devo pensare.

[kovalevskaya1]

@Vict85: X^-1 e (X')^-1 non hanno molto senso perchè X è una generica matrice rettangolare

[kovalevskaya1]

@byob12: ho il sospetto che la condizione n>=k sia necessaria per l'invertibilità ci X'X ma non sono riuscita a provarlo

[byob12]

@kovalevskaya (che nome ) si, la condizione $n>k$ è per l'invertibilita di $X'X$

nel nostro caso dato che:

$AAX$ $rank(X')=rank(X)$
$rank(X)<=min(n,k)$
$X'*X$ è una matrice quadrata di ordine $k$[/list:u:23uarvbn]

e inoltre date 2 matrici $A$ e $B$ tali che $EEA*B$ allora si ha:

$\{(rank(A*B)<=rank(A)),(rank(A*B)<=rank(B)):}$ $->$ $rank(A*B)<=min(rank(A),rank(B))$[/list:u:23uarvbn]

allora si deduce che:

$rank(X'*X)<=min(rank(X'),rank(X))$
$->$ $rank(X'*X)<=min(rank(X),rank(X))$
$->$ $rank(X'*X)<=rank(X)$
$->$ $rank(X'*X)<=min(n,k)$[/list:u:23uarvbn]

poniamoci nel caso $k>n$ :
supponiamo per assurdo che $det(X'*X)!=0$
allora sara $rank(X'*X)=k$
che è un assurdo dato che $rank(X'*X)<=min(n,k)=n$

[kovalevskaya1]

Grazie mille.

[vict85]

"kovalevskaya":@Vict85: X^-1 e (X')^-1 non hanno molto senso perchè X è una generica matrice rettangolare

Ho infatti messo tra parentesi "sempre che l'inversa abbia senso". La prima parte invece vale sempre.