Determinare una base dell'intersezione
dati i sottospazi $V=<(0,0,1,1),(1,0,0,-1)>$ e $W=<(1,1,0,1),(1,1,-1,0)>$ di $R^4$ determinare una base di V$nn$W.
so come fare il procedimento ma non capisco come trovare l'elemento generico dei due sottospazi.
so come fare il procedimento ma non capisco come trovare l'elemento generico dei due sottospazi.
Risposte
L'elemento generico è la combinazione lineare degli elementi della base.
L'elemento generico di [tex]V[/tex] ha forma [tex](s,0,t,t-s)[/tex], mentre quello di [tex]W[/tex] ha forma [tex](u+v,u+v,-v,u)[/tex].
L'elemento generico di [tex]V[/tex] ha forma [tex](s,0,t,t-s)[/tex], mentre quello di [tex]W[/tex] ha forma [tex](u+v,u+v,-v,u)[/tex].
forse ho capito. siccome devo trovare una base di V$nn$W devo fare in modo che v$in$ V ma anche che v$in$W e quindi combinazione lineare dei due sottospazi.
Cioè [tex]\mathbf v = x (0,0,1,1) + y (1,0,0,-1) = z(1,1,0,1) + w(1,1,-1,0)[/tex] e quindi [tex]\mathbf (y-z-w,-z-w,x+w,x-y-z)=(0,0,0,0)[/tex]
faccio il sistema $\{(y-z-w=0),(-z-w=0),(x+w=0),(x-y-z=0):}$ dalla seconda trovo $z=-w$ sostituisco nella prima eqauzione e trovo che $y=0$ poi sostituisco $z=-w$ e $y=0$ nella quarta equazione e trovo $x+w=0$ che è uguale alla terza equazione quindi ne elimino una delle due e ponendo $W=k$ ho il sistema finale pari a $\{(x=-k),(y=0),(z=-k),(w=k):}$ quindi la mia base è $(-k,0,-k,k)$ pongo $k=-1$ e ho la base che è $(1,0,1,-1)$ esatto?
Cioè [tex]\mathbf v = x (0,0,1,1) + y (1,0,0,-1) = z(1,1,0,1) + w(1,1,-1,0)[/tex] e quindi [tex]\mathbf (y-z-w,-z-w,x+w,x-y-z)=(0,0,0,0)[/tex]
faccio il sistema $\{(y-z-w=0),(-z-w=0),(x+w=0),(x-y-z=0):}$ dalla seconda trovo $z=-w$ sostituisco nella prima eqauzione e trovo che $y=0$ poi sostituisco $z=-w$ e $y=0$ nella quarta equazione e trovo $x+w=0$ che è uguale alla terza equazione quindi ne elimino una delle due e ponendo $W=k$ ho il sistema finale pari a $\{(x=-k),(y=0),(z=-k),(w=k):}$ quindi la mia base è $(-k,0,-k,k)$ pongo $k=-1$ e ho la base che è $(1,0,1,-1)$ esatto?
Molto bene. Bravo!
è giusto dire che se una base di un sottospazio è formata da due vettori indipendenti quindi la dimensione del sottospazio è 2? o devo calcolare il rango della matrice dei vettori che formano il sottospazio?
cioè io ho il sottospazio $V={(x,y,z,t) in R^4|x+2y-z=x+t=0}$ trovo la base di questo sottospazio e se vedo che gli eventuali 2 o più vettori che formano la base di questo sottospazio sono indipendenti concludo dicendo che la dimensione è uguale al numero dei vettori indipendenti si può dire?
cioè io ho il sottospazio $V={(x,y,z,t) in R^4|x+2y-z=x+t=0}$ trovo la base di questo sottospazio e se vedo che gli eventuali 2 o più vettori che formano la base di questo sottospazio sono indipendenti concludo dicendo che la dimensione è uguale al numero dei vettori indipendenti si può dire?
La dimensione è per definizione la cardinalità di una base. Quindi se trovi una base formata da due elementi, puoi giustamente dire che la dimensione è 2.
Ho chiarito il dubbio?
Ho chiarito il dubbio?
lo posso dire indipendentemente se la base è formata da vettori dipendendi o indipendenti? (scusate il gioco di parole)
Definizione. Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale sul campo [tex]K[/tex]. Diciamo che un insieme [tex]S = \{\mathbf v_i\}_{i \in I}[/tex] è una base di [tex]V[/tex] se:
- 1. i vettori di [tex]S[/tex] sono tutti linearmente indipendenti;
2. i vettori di [tex]S[/tex] generano [tex]V[/tex].
[/list:u:3n6e42jn]
I vettori di una base sono sempre linearmente indipendenti!!!!
ok grazie mille ora molto chiaro
se ho questi sottospazi $V=<(0,1,1),(1,0,-1)>$ e $W=<(2,-1,0),(1,0,1)>$ devo trovare V$nn$W faccio la stessa cosa che ho fatto per i sottospazi di $R^4$ vero?
Sì... Con la differenza (concettuale) che qui sai già che l'intersezione ha dimensione almeno 1. Non serve a niente per fare l'esercizio, ma se ti viene un risultato contrario, vuol dire che hai sbagliato.
allora avrei il sistema $\{(y-2z-t=0),(x+z=0),(x-y+t=0):}$ mmm e non ne vengo a capo
E' un normalissimo sistema. Lo risolvi per sostituzione, ma come sto ripetendo a fuoco in questi giorni, è meglio se lo fai per riduzione.
Passa alle matrici.
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \stackrel{R_3 \to R_3 + R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\stackrel{R_3 \to R_3 - R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
Adesso la matrice è ridotta per righe e quindi possiamo passare nuovamente al sistema:
[tex]\begin{cases} y -2z -t = 0 \\ x + z = 0 \\ -3 z = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y = t \\ x = 0 \\ z = 0 \end{cases}[/tex]
Poniamo [tex]t = s[/tex] e troviamo
[tex]\begin{cases} x = 0 \\ y = s \\ z = 0 \\ t = s \end{cases}, \quad s \in \mathbb R[/tex]
che è la nostra soluzione generale. Una base è [tex](0,1,0,1)[/tex].
Passa alle matrici.
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \stackrel{R_3 \to R_3 + R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\stackrel{R_3 \to R_3 - R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
Adesso la matrice è ridotta per righe e quindi possiamo passare nuovamente al sistema:
[tex]\begin{cases} y -2z -t = 0 \\ x + z = 0 \\ -3 z = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y = t \\ x = 0 \\ z = 0 \end{cases}[/tex]
Poniamo [tex]t = s[/tex] e troviamo
[tex]\begin{cases} x = 0 \\ y = s \\ z = 0 \\ t = s \end{cases}, \quad s \in \mathbb R[/tex]
che è la nostra soluzione generale. Una base è [tex](0,1,0,1)[/tex].
ok avevo sbagliato un conto della riduzione con Gauss io sono abituato ad usare i pivot.
Sono arrivato anche io al tuo risultato ma come mai mi dice la soluzione dell'esercizio che V$nn$W=span(1,-2,-3)?? non capisco
in effetti dovrebbe essere un vettore di 3 elementi la soluzione non di 4...almeno credo essendo in $R^3$
Sono arrivato anche io al tuo risultato ma come mai mi dice la soluzione dell'esercizio che V$nn$W=span(1,-2,-3)?? non capisco
in effetti dovrebbe essere un vettore di 3 elementi la soluzione non di 4...almeno credo essendo in $R^3$
Scusa... mi sto rincitrullendo...
Ho detto che la soluzione generale era [tex](0,s,0,s)[/tex], ma qui siamo in [tex]\mathbb R^3[/tex]! Quindi la soluzione generale è corretta, ma va interpretata. E poi non avevo controllato i tuoi conti. A me risulta che il sistema da risolvere sia
[tex]\begin{cases} y - 2z -t = 0 \\ x + z = 0 \\ x - y - t = 0 \end{cases}[/tex]
che dovrebbe avere soluzione
[tex]\begin{cases} x = -2s \\ y = s \\ z = 2s \\ t = -3s \end{cases}, \quad s \in \mathbb R[/tex]
E adesso interpretiamo cosa abbiamo ottenuto: abbiamo ottenuto che la soluzione generale è [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0)+t(1,0,1)[/tex]. Quindi l'elemento generico dell'intersezione è [tex](s,-2s,-3s)[/tex], ossia una base è proprio [tex](1,-2,-3)[/tex].
"zavo91":
se ho questi sottospazi $V=<(0,1,1),(1,0,-1)>$ e $W=<(2,-1,0),(1,0,1)>$ devo trovare V$nn$W faccio la stessa cosa che ho fatto per i sottospazi di $R^4$ vero?
Ho detto che la soluzione generale era [tex](0,s,0,s)[/tex], ma qui siamo in [tex]\mathbb R^3[/tex]! Quindi la soluzione generale è corretta, ma va interpretata. E poi non avevo controllato i tuoi conti. A me risulta che il sistema da risolvere sia
[tex]\begin{cases} y - 2z -t = 0 \\ x + z = 0 \\ x - y - t = 0 \end{cases}[/tex]
che dovrebbe avere soluzione
[tex]\begin{cases} x = -2s \\ y = s \\ z = 2s \\ t = -3s \end{cases}, \quad s \in \mathbb R[/tex]
E adesso interpretiamo cosa abbiamo ottenuto: abbiamo ottenuto che la soluzione generale è [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0)+t(1,0,1)[/tex]. Quindi l'elemento generico dell'intersezione è [tex](s,-2s,-3s)[/tex], ossia una base è proprio [tex](1,-2,-3)[/tex].
dunque ho la matrice $((0,1,-2,-1),(1,0,1,0),(1,-1,0,1))$ e usando Gauss sono arrivato a questa $((1,0,1,0),(0,1,-2,-1),(0,0,-3,0))$ quindi il sistema è [tex]\begin{cases} x + z = 0 \\ y- 2z -t= 0 \\ -3z = 0 \end{cases}[/tex] e quindi soluzioni sono [tex]\begin{cases} x = 0 \\ y =t \\z = 0 \\t=k \end{cases}[/tex] quindi [tex]\begin{cases} x = 0 \\ y =k \\z = 0 \\t=k \end{cases}[/tex] quindi la base è (0,1,0,1)
Sbagli il sistema iniziale. L'ultima equazione è [tex]x - y - t= 0[/tex] e non, come dici tu, [tex]x - y + t = 0[/tex]. Riguarda i conti.
riguardati ma non mi cambiano la matrice secondo me è ridotta giustamente a scala usando Gauss e quello è il sistema non vedo nessun errore
Allora. Un elemento generico di [tex]V[/tex] è [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1)[/tex] e un elemento generico di [tex]W[/tex] è [tex]z(2,-1,0) + t(1,0,1)[/tex]. Fin qui ci sei?
Adesso fai come prima: imponi che [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-,1,0)+t(1,0,1)[/tex] per trovare l'elemento generico dell'intersezione. Ok?
Adesso facciamo i conti che ti dicevo di ricontrollare:
[tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) - z(2,-1,0) - t(1,0,1) = (0,0,0) \Rightarrow (y -2z -t, x[/tex][tex]+ z, x - y - t) = 0[/tex]
Quindi la matrice da ridurre con Gauss è
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
e non, come ti ostini a dire tu,
[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
Lo vedi che l'elemento di posto [tex](3,4)[/tex] è diverso?? Per forza ti vengono soluzioni diverse!
Adesso fai come prima: imponi che [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-,1,0)+t(1,0,1)[/tex] per trovare l'elemento generico dell'intersezione. Ok?
Adesso facciamo i conti che ti dicevo di ricontrollare:
[tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) - z(2,-1,0) - t(1,0,1) = (0,0,0) \Rightarrow (y -2z -t, x[/tex][tex]+ z, x - y - t) = 0[/tex]
Quindi la matrice da ridurre con Gauss è
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
e non, come ti ostini a dire tu,
[tex]\left(\begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
Lo vedi che l'elemento di posto [tex](3,4)[/tex] è diverso?? Per forza ti vengono soluzioni diverse!
ok avevo scritto male solo qui quindi questa [tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & -1 \end{matrix} \right)[/tex] ridotta a scala mi viene [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \end{matrix} \right)[/tex] e il sistema è[tex]\begin{cases} x + z = 0 \\ y- 2z -t= 0 \\ -3z -2t= 0 \end{cases}[/tex] risolvo e dovrei trovare la base (1,-2,-3)
Sì.
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