Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Prima uno sfogo: queste notazioni a indici diventano facilmente un gran casino! Come è possibile che ai fisici piacciano tanto?
Dunque, il dubbio del giorno riguarda la seguente argomentazione rinvenuta su Linear Algebra via Exterior Products di S.Winitzki:
[...]the 3-vector \(\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\wedge \mathbf{w}\) can be expanded in the basis as
\[\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\wedge \mathbf{w}=\sum_{i, j, k=1}^N B^{ijk}\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j\wedge \mathbf{e}_k.\]
[...]A direct ...
Salve sono una studentessa di Design (primo anno) fra qualche giorno ho un esame ma non riesco a risolvere due tipologie di esercizi di analisi geometrico-differenziale:
1)equazione cartesiana del piano passante per il punto (ad esempio P(1,-2,1) ) e contenente la retta di equazione
r:t+3
t-1
t-2
io lo svolgo vedendo se P appartiene a r ,determinando il Vettore di giacitura (1,1,1) e il secondo vettore di giacitura ponendo t=0 per avere R(3,-1-2) e ...
Salve,
se mi si chiede di verificare che $V+W=R^4$ dove però al posto di più c'è il simbolo di somma diretta (non l'ho trovato in tabella ) e dove ovviamente $V$ e $W$ sono due sottospazi, devo semplicemente verificare che la somma delle loro dimensioni sia 4 giusto?
Scusate per le domande banali ma il forum mi ha aiutato a chiarire molti punti!
Buonasera a tutti, vengo a voi perché sto avendo alcuni problemi con le matrici associate ad un'applicazione lineare.
Nella fattispecie ho parecchi dubbi intorno al seguente:
Scrivere la matrice, rispetto alle basi canoniche, della proiezione sulle prime due componenti \(\displaystyle \pi: \mathbb{R^{3}} \rightarrow \mathbb{R^{2}}, \ (x_{1},x_{2},x_{3}) \rightarrow (x_{1},x_{2}) \). Considerando su \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \) la base \(\displaystyle ...
Ragazzi sono uno studenti di ingegneria e mi sto accingendo a studiare geometria...purtroppo non posso seguire i corsi per cui mi sono fornito di due libri teorici. Il problema è che dopo aver studiato la teoria mi risulta molto difficile risolvere i relativi esercizi, vuoi perchè sono subito "tosti" o per mia incapacità
voi cosa consigliate?
Salve a tutti, vorrei chiedervi una mano riguardo la costruzione di una struttura complessa su una varieta' topologica:
Diciamo che $M$ e' una varieta' topologica; due carte definite su $M$ sono compatibili se e solo se l'intersezione fra i domini e' vuota, oppure la mappa di transizione e' biolomorfa. La relazione di compatibilita' fra carte non e' una relazione di equivalenza difatti manca la proprieta' di transitivita'. Viceversa due atlanti complessi ...
Ragazzi datemi una mano mi sono bloccato con questo esercizio:
Dati i vettori di $R^{3}$ : $\vec v$ $=$ $(1,2,3)$ , $\vec u$ $=$ $(4,-1,5)$ , $\vec w$ , $=$ $(-2,5,1)$ , trovare il sottospazio $L$ generato da essi e la sua dimensione.
Come si fa? So solo che si scrive la matrice di tutti i vettori, in questo caso la matrice è $A$ ...
Salve a tutti,
come da oggetto, devo dare una rappresentazione cartesiana dello spazio vettoriale $V=<(1101)(1102)(0001)(0011)>$.
Controllo che i generatori rappresentino proprio una base o meno:
$((1,1,0,1),(1,1,0,2),(0,0,0,1),(0,0,1,1))$ sottraendo alla seconda riga la prima otteniamo $((1,1,0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,1),(0,0,1,1))$ Noto che la seconda e la terza riga sono uguali quindi una base di $V$ è $Bv={(1101)(0001)(0011)}$.
Un generico vettore di $V$ è espresso nella forma $U=(xyzk)$. Impongo che sia lineramente dipendente dai ...
Ciao a tutto il forum...Ho questo bell'esercizio:
Partiamo col punto a:
Risolvo il sistema in forma matriciale: $A_t*x=b_s$
$((t,2,-1,|4),(0,-1,2t,|s),(0,1,0,|1),(-t,0,3,|0)) $
Riducendo a gradini con qualche scambio di riga, ottengo la matrice:
$((t,2,-1,|4),(0,1,0,|1),(0,0,1,|1),(0,0,0,|-2t+s+1)) $
Per il teorema dei mitici Rouché-Capelli so' che il sistema ha soluzione se $R(A_t)=R(A_t|b_s)$
e infinite soluzioni se $R(A_t)=R(A_t|b_s) < n$
quindi:
Se $t=0$, allora $R(A)=2$ e $\forall s$, il sistema non ha soluzioni,
mentre per ...
Dimostrare che se due matrici $A,B in GL_2(RR)$ sono coniugate, allora hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Allora, un metodo per risolvere ciò sarebbe dire: $A,B, M in GL_2(RR)$, $B=MAM^(-1)$
$det(B-λI)=det(MAM^(-1)-λI)=det(MAM^(-1)-MλIM^(-1))=det(M(A-λI)M^(-1))= det(A-λI)$
Ma siccome è un esercizio di algebra, vorrei risolvere con le azioni dei gruppi. Si può in questo modo?
Considero l'azione tramite coniugio del gruppo $GL_2(RR)$ su se stesso.
Allora l'orbita di $A$ è: $O_(A)={B in G|B=MAM^(-1)$ per un certo $M in GL_2(RR)}$
Siccome ...
Se il prodotto scalare è definito come operazione binaria interna, gli insiemi coinvolti dovrebbero coincidere.
Questo accade nel caso $<v,w>: RxR$$rarr$$R$ ma nel caso $<v,w>: R^nxR^n$$rarr$$R$ gli insiemi coinvolti non coincidono per $ n>1 $ e quindi in questo caso è corretto definire il prodotto scalare come operazione binaria interna ?
grazie a tutti
Dati i due sottoinsiemi in $RR^4$:
$H={(x,-x,z,0)|x,z∈RR}$
$K={(x,y,z,-z)|z,y,z∈RR}$
Completare una base per $H∩K$ in $RR^4$.
Allora trovo una base per $H$. È $B(H)={(1,-1,0,0)}$ o è $B(H)={(1,0,0,0)(0,-1,0,0)}$?
Poi la base di K. È $B(K)={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,-1)}$ o è $B(K)={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,-1)}$?
Nel primo caso per entrambe le basi, applicando la formula di Grassman la dim($H∩K$)=1 e il vettore che compone la base di $H∩K$ è (1,-1,0,0). Applicando però l'algoritmo per ...
Ragà, potete dirmi se il ragionamento che faccio è corretto?
Dati i due sottoinsiemi in $RR^4$:
$H={(x,-x,z,0)|x,z∈RR}$
$K={(x,y,z,-z)|z,y,z∈RR}$
Verificare che sono sottospazi vettoriali di $RR^4$
Allora io faccio in questo modo (lo faccio solo per K perché il procedimento è uguale per H):
Prendo due vettori generici di $K$ $(x,y,z,-z)$ e $(a,b,c,-c)$. Quindi provo che $λ(x,y,z,-z)+v(a,b,c,-c)∈K$ e risulta che $(λx+va, λy+vb, λz+vc, -λz-vc)$. Posto $λx+va=α$, ...
Buona sera a tutti ! Ho un esercizio in cui si dice
Siamo in $ R^2$ e ci si chiede se la funzione $ d $ sia una metrica o distanza
ho la funzione $d((x_1,y_1) (x_2, y_2)) = | x_1 - x_2| $ questa non eè una funzione distanza
ma non capisco il perchè??? come mai? GRAZIE A TUTTI
Salve ragazzuoli!
Mi chiedevo, perchè $RR \ {(0,0)}$ non è un insieme semplicemente connesso?
Salve ragazzi, innanzitutto complimenti per il forum che da mesi a questa parte visito ormai quotidianamente. Sia per in qualche modo "presentarmi" sia per farvi una domanda, ho finalmente deciso di iscrivermi. Vengo subito al punto:
In alcuni esercizi di Matematica I della mia facoltà viene proposto di calcolare, dato un vettore definito in $RR^2$, ad esempio $\vecv=((4),(3))$ (di cui posso calcolare la norma, dunque), il suo ortogonale e il suo parallelo conoscendone la norma ...
Ho riscontrato deu dubbi su un esercizio che posto di seguito:
Il problema è essenzialmente sull'applicazione, secondo i miei calcoli è sia iniettiva che suriettiva ma mi sa che mi sbaglio poichè la traccia dice che bisogna dimostrare se è suriettiva o iniettiva. Aiuto
Ci sono tanti modi per stabilire se una matrice è definita positiva.
Io mi chiedevo se si poteva applicare la decomposizione di Cholesky, e assumere che è definita positiva se si riesce a calcolare tutti i valori della triangola inferiore, altrimenti se si fallisce, si conclude che non è definita positiva.
Ho un esempio:
\(A=\begin{bmatrix}3\:\:&1\:\:&-2\:\: \\ 1\:\:&5\:\:&2\:\: \\ -2\:\:&2\:\:&4\:\:\end{bmatrix}\)
A è definita positiva se e solo se esiste una matrice L triangolare inferiore ...
Dati i sottoinsiemi: $H=L{(1,0,1,1),(2,1,0,1),(1,0,0,0)}$ e $K={(x,y,-x,t)|x,y,t∈ RR^4}$ si calcoli una base per $H+K$.
Ora vorrei sapere se $H+K={(1+x,y,1-x,1+t)(2+x,1+y,-x,1+t)(1+x,y,-x,t)}$ è corretta e se così fosse la base per $H+K$ è ${(1+x,y,1-x,1+t)(2+x,1+y,-x,1+t)(1+x,y,-x,t)}$ se ${(1+x,y,1-x,1+t)(2+x,1+y,-x,1+t)(1+x,y,-x,t)}$ sono linearmente indipendenti?
Buonasera a tutti
Sto avendo delle difficoltà nella risoluzione del seguente problema:
"Sia A una matrice quadrata 5x5 tale che rg(A*A) = 2. Determina i valori minimo e massimo che può assumere il rango di A".
Ragionando, immediatamente salta all'occhio che rgA >= 2 (perchè il rango del prodotto di una matrice è minore o uguale del minore tra i ranghi dei fattori).
Qualche aiuto per poter ricavare il valore massimo richiesto?
Grazie
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