Azioni e matrici
Dimostrare che se due matrici $A,B in GL_2(RR)$ sono coniugate, allora hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Allora, un metodo per risolvere ciò sarebbe dire: $A,B, M in GL_2(RR)$, $B=MAM^(-1)$
$det(B-λI)=det(MAM^(-1)-λI)=det(MAM^(-1)-MλIM^(-1))=det(M(A-λI)M^(-1))= det(A-λI)$
Ma siccome è un esercizio di algebra, vorrei risolvere con le azioni dei gruppi. Si può in questo modo?
Considero l'azione tramite coniugio del gruppo $GL_2(RR)$ su se stesso.
Allora l'orbita di $A$ è: $O_(A)={B in G|B=MAM^(-1)$ per un certo $M in GL_2(RR)}$
Siccome A e B appartengono alla stessa orbita ciò significa che non si possono distinguere sotto l'azione di G e quindi anche il polinomio caratteristico è uguale...è giusto questo ragionamento?Grazie mille....
Allora, un metodo per risolvere ciò sarebbe dire: $A,B, M in GL_2(RR)$, $B=MAM^(-1)$
$det(B-λI)=det(MAM^(-1)-λI)=det(MAM^(-1)-MλIM^(-1))=det(M(A-λI)M^(-1))= det(A-λI)$
Ma siccome è un esercizio di algebra, vorrei risolvere con le azioni dei gruppi. Si può in questo modo?
Considero l'azione tramite coniugio del gruppo $GL_2(RR)$ su se stesso.
Allora l'orbita di $A$ è: $O_(A)={B in G|B=MAM^(-1)$ per un certo $M in GL_2(RR)}$
Siccome A e B appartengono alla stessa orbita ciò significa che non si possono distinguere sotto l'azione di G e quindi anche il polinomio caratteristico è uguale...è giusto questo ragionamento?Grazie mille....
Risposte
Posto $B=MAM^(-1)$ devi calcolare $det(B-\lambdaI)=det(MAM^(-1)-\lambdaMM^(_1))=det(M(AM^(-1)-\lambdaM^(-1))=detM*det(AM^(-1)-\lambdaM^(-1))=detM*det(M^(-1)(A-\lambdaI))=detM*detM^(-1)*det(A-\lambdaI)=det(A-\lambdaI)$ per il teorema di Binet. Quindi $B$ ed $A$ hanno lo stesso polinomio caratteristico.
non so perchè ma non si vede bene. Comunque fai lo stesso lavoro isolando $M^(-1)$ e ritrovi $det(B-\lambdaI)=det(A-\lambdaI)$.
X makako: attento alle parentesi e vai a capo... Intendevi questo?
\(\displaystyle \det\left(B - \lambda I \right) = \det\left(MAM^{-1} - \lambda MM^{-1}\right) = \det\left( M\left(AM^{-1} -\lambda M^{-1}\right)\right)=\)
\(\displaystyle ={\det{{M}}}\cdot{\det{{\left({A}{{M}}^{{-{1}}}-\lambda{{M}}^{{-{1}}}\right)}}}={\det{{M}}}\cdot{\det{{\left({{M}}^{{-{1}}}{\left({A}-\lambda{I}\right)}\right)}}}={\det{{M}}}\cdot{{\det{{M}}}}^{{-{1}}}\cdot{\det{{\left({A}-\lambda{I}\right)}}}= \)
\(\displaystyle = \det\left(A - \lambda I\right) \)
Comunque è del tutto equivalente alla versione di Melli13.
Riguardo alla domanda di Melli13 hai bisogno di trovare qualcosa di più: come fai a dire che è un'invariante rispetto a quell'azione? Secondo me alla fine non ci guadagni a seguire questo metodo.
\(\displaystyle \det\left(B - \lambda I \right) = \det\left(MAM^{-1} - \lambda MM^{-1}\right) = \det\left( M\left(AM^{-1} -\lambda M^{-1}\right)\right)=\)
\(\displaystyle ={\det{{M}}}\cdot{\det{{\left({A}{{M}}^{{-{1}}}-\lambda{{M}}^{{-{1}}}\right)}}}={\det{{M}}}\cdot{\det{{\left({{M}}^{{-{1}}}{\left({A}-\lambda{I}\right)}\right)}}}={\det{{M}}}\cdot{{\det{{M}}}}^{{-{1}}}\cdot{\det{{\left({A}-\lambda{I}\right)}}}= \)
\(\displaystyle = \det\left(A - \lambda I\right) \)
Comunque è del tutto equivalente alla versione di Melli13.
Riguardo alla domanda di Melli13 hai bisogno di trovare qualcosa di più: come fai a dire che è un'invariante rispetto a quell'azione? Secondo me alla fine non ci guadagni a seguire questo metodo.
[xdom="Martino"]Io sposterei in algebra lineare.[/xdom]
@Martino: l'avevo messo nella sezione di algebra perchè vorrei risolverlo con le azioni di gruppo
@Vict85:Si grazie...anche io l'avevo risolto così...solo che l'ultimo pezzo non si vede!Ma cosa vuol dire trovare un invariante
?Quindi ci sarebbe un metodo?Perchè il prof vuole che lo risolviamo con le azioni di gruppo per farci esercitare...Grazie ancora!
@Vict85:Si grazie...anche io l'avevo risolto così...solo che l'ultimo pezzo non si vede!Ma cosa vuol dire trovare un invariante
?Quindi ci sarebbe un metodo?Perchè il prof vuole che lo risolviamo con le azioni di gruppo per farci esercitare...Grazie ancora!
Invariante: che non varia.
Ciò che devi dimostrare è che ogni elemento dell'orbita ha lo stesso polinomio caratteristico. In pratica la dimostrazione è la stessa. Forse cambi un paio di parole.
Ciò che devi dimostrare è che ogni elemento dell'orbita ha lo stesso polinomio caratteristico. In pratica la dimostrazione è la stessa. Forse cambi un paio di parole.
"melli13":Il procedimento che hai scritto col determinante è l'unico metodo che trovo ragionevole per risolvere l'esercizio. Forse il vostro prof vuole che diate un'interpretazione in termini di azioni di gruppo. L'interpretazione è appunto che l'azione di [tex]GL(n,\mathbb{R})[/tex] su [tex]M(n,\mathbb{R})[/tex] per coniugio lascia invariato il polinomio caratteristico, in altre parole il polinomio caratteristico è un invariante di questa azione.
il prof vuole che lo risolviamo con le azioni di gruppo per farci esercitare...
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