Prodotto wedge e indici: confusione

[dissonance]

Prima uno sfogo: queste notazioni a indici diventano facilmente un gran casino! Come è possibile che ai fisici piacciano tanto?

Dunque, il dubbio del giorno riguarda la seguente argomentazione rinvenuta su Linear Algebra via Exterior Products di S.Winitzki:

[...]the 3-vector \(\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\wedge \mathbf{w}\) can be expanded in the basis as

\[\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\wedge \mathbf{w}=\sum_{i, j, k=1}^N B^{ijk}\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j\wedge \mathbf{e}_k.\]

[...]A direct calculation yields

\[B^{ijk}=u^iv^jw^k-u^jv^iw^k+u^jv^kw^i-u^iv^kw^j+u^kv^iw^j-u^kv^jw^i.\]

Ma secondo me questa cosa è sbagliata. Sarebbe giusta se la somma fosse presa con una accortezza:

\[\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\wedge \mathbf{w}=\sum_{1\le i < j < k\le N} B^{ijk}\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j\wedge \mathbf{e}_k,\]

in modo da escludere ripetizioni negli indici. Chi ha ragione?

[wedge]

qualcuno mi chiama?

[j18eos]

@dissonance Più che sbagliata direi ridondante!

@wedge Sarà una chiamata intergalattica nel mondo delle scienze!

[ciampax]

Io davanti a quella formula ci avrei messo $1/3$ (cosa che tra l'altro si fa spesso in questi casi).