Vettore parallelo o ortogonale ad uno di data norma
Salve ragazzi, innanzitutto complimenti per il forum che da mesi a questa parte visito ormai quotidianamente. Sia per in qualche modo "presentarmi" sia per farvi una domanda, ho finalmente deciso di iscrivermi. Vengo subito al punto:
In alcuni esercizi di Matematica I della mia facoltà viene proposto di calcolare, dato un vettore definito in $RR^2$, ad esempio $\vecv=((4),(3))$ (di cui posso calcolare la norma, dunque), il suo ortogonale e il suo parallelo conoscendone la norma $\vecw=||5||$.
Non essendo una grande cima in materia, con alcune ricerche sono riuscito a scoprire che per determinare questo vettore, nel caso del parallelismo, c'è una formula da seguire che dovrebbe essere del tipo:
$||v||/||w||*\vecv$ che in questo caso equivarrebbe a $5/5*((4),(3))=((4),(3))$.
Io adesso non so se la formula sia corretta o no, ma vorrei tanto ulteriori delucidazioni in merito, per capire da cosa si ottiene e seguendo quale procedimento (qualora sia esatta, altrimenti sapere perchè è sbagliata).
Per quanto riguarda l'ortogonalità, invece, non ho trovato nulla del genere e non sono stato in grado di capire assolutamente come muovermi. Ho molte lacune, quindi, che vorrei colmare e spero dunque mi possiate dare una mano.
Vi saluto e grazie di tutto in anticipo.
In alcuni esercizi di Matematica I della mia facoltà viene proposto di calcolare, dato un vettore definito in $RR^2$, ad esempio $\vecv=((4),(3))$ (di cui posso calcolare la norma, dunque), il suo ortogonale e il suo parallelo conoscendone la norma $\vecw=||5||$.
Non essendo una grande cima in materia, con alcune ricerche sono riuscito a scoprire che per determinare questo vettore, nel caso del parallelismo, c'è una formula da seguire che dovrebbe essere del tipo:
$||v||/||w||*\vecv$ che in questo caso equivarrebbe a $5/5*((4),(3))=((4),(3))$.
Io adesso non so se la formula sia corretta o no, ma vorrei tanto ulteriori delucidazioni in merito, per capire da cosa si ottiene e seguendo quale procedimento (qualora sia esatta, altrimenti sapere perchè è sbagliata).
Per quanto riguarda l'ortogonalità, invece, non ho trovato nulla del genere e non sono stato in grado di capire assolutamente come muovermi. Ho molte lacune, quindi, che vorrei colmare e spero dunque mi possiate dare una mano.
Vi saluto e grazie di tutto in anticipo.
Risposte
Occupiamoci del primo punto, cioè del parallelismo.
Per risolvere questo problema sfruttiamo sia il fatto $|w|=5$ e il fatto che debbano essere paralleli. L'idea, quindi, è quella di trovare un vettore di $RR^2$, cioè della forma $w=(a,b)$ (non ci far caso al modo in cui indico il vettore, è equivalente al tuo), di tale vettore sappiamo che ha norma 5, che possiamo esprimere anche così: $|w|=sqrt(a^2+b^2)=5 => a^2+b^2=25$ (e questa è una prima condizione). Per la seconda condizione sfruttiamo il parallelismo, che come ti dicevo prima, si fa tramite la dipendenza lineare. Ora la domanda che ti volevo porre è: tu di algebra lineare cosa conosci?! Perchè lo possiamo fare in diversi modi...
Per risolvere questo problema sfruttiamo sia il fatto $|w|=5$ e il fatto che debbano essere paralleli. L'idea, quindi, è quella di trovare un vettore di $RR^2$, cioè della forma $w=(a,b)$ (non ci far caso al modo in cui indico il vettore, è equivalente al tuo), di tale vettore sappiamo che ha norma 5, che possiamo esprimere anche così: $|w|=sqrt(a^2+b^2)=5 => a^2+b^2=25$ (e questa è una prima condizione). Per la seconda condizione sfruttiamo il parallelismo, che come ti dicevo prima, si fa tramite la dipendenza lineare. Ora la domanda che ti volevo porre è: tu di algebra lineare cosa conosci?! Perchè lo possiamo fare in diversi modi...
Ciao e grazie per l'aiuto, ti riporto il nostro programma di Algebra Lineare per intero!
Algebra Lineare: Vettori liberi e applicati,
operazioni tra vettori, dipendenza e indipendenza
lineare. Operazioni con le matrici. Matrici quadrate:
determinante e matrici inverse. Rango. Sistemi
lineari di m equazioni in n incognite: metodi
risolutivi, regola di Cramer e metodo di Gauss;
teorema di Rouché-Capelli. Applicazioni lineari:
Nucleo e imagine; autovalori e autovettori. (12h)
La dipendenza e l'indipendenza lineare le abbiamo fatte se intendevi questo!
Algebra Lineare: Vettori liberi e applicati,
operazioni tra vettori, dipendenza e indipendenza
lineare. Operazioni con le matrici. Matrici quadrate:
determinante e matrici inverse. Rango. Sistemi
lineari di m equazioni in n incognite: metodi
risolutivi, regola di Cramer e metodo di Gauss;
teorema di Rouché-Capelli. Applicazioni lineari:
Nucleo e imagine; autovalori e autovettori. (12h)
La dipendenza e l'indipendenza lineare le abbiamo fatte se intendevi questo!
E allora dato che hai fatto anche le matrici, rango etc...diciamo che alla prima condizione detta nel post precedente, aggiungici il parallelismo tra vettori che si esprime tramite l'utilizzo del concetto di rango...lo sai fare?!
Purtroppo no, potresti aiutarmi?
Sai almeno cos'è il rango di una matrice?! Guarda la definizione e prova a trasformare il concetto di lineare dipendenza tramite esso...pensaci un pò su...altrimenti parti da esercizi più semplici.
Ci proverò comunque si, so cosa è il rango di una matrice e so come calcolarlo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo