Stabilire se una matrice è definita positiva

[ramy1989]

Ci sono tanti modi per stabilire se una matrice è definita positiva.
Io mi chiedevo se si poteva applicare la decomposizione di Cholesky, e assumere che è definita positiva se si riesce a calcolare tutti i valori della triangola inferiore, altrimenti se si fallisce, si conclude che non è definita positiva.
Ho un esempio:
\(A=\begin{bmatrix}3\:\:&1\:\:&-2\:\: \\ 1\:\:&5\:\:&2\:\: \\ -2\:\:&2\:\:&4\:\:\end{bmatrix}\)
A è definita positiva se e solo se esiste una matrice L triangolare inferiore (indicherò i suoi elementi con \(l_{ij}\)) tale che \(A=LL^T\)
Con le formule:
\( l_{ij}= \frac {a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot l_{jk}}
{l_{jj}} \) se j E
\( l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}^2} \) se i=j
Allora io ho provato a calcolare tutti i valori:
\(l_{11}=\sqrt{3}\)
\(l_{21}=\frac{5}{\sqrt{3}}\)
Ma poi calcolando \(l_{22}\) mi è venuto \(\sqrt{\frac{15}{3}-\frac{25}{3}}\) che è la radice di un valore negativo, che non può essere calcolata.Per cui è giusto affermare che A non è definita positiva?

[_prime_number]

Ma sei sicuro di questa equivalenza? Io non l'ho mai sentita e non ne trovo traccia online.
Su Wikipedia dice:

a square matrix A has a Cholesky decomposition if and only if A is Hermitian and positive semi-definite.

che è diverso...
In ogni caso io sapevo che un modo per determinare se una matrice era def. positiva era controllare se tutti i minori principali erano positivi. In questo caso è così, la matrice dovrebbe essere def. positiva.

Paola

[ramy1989]

Una matrice quadrata ha una decomposizione di Cholesky solo se è hermitiana e semi-definita positiva.
Quindi se non è definita positiva non dovrebbe avere una decomposizione di Cholesky,non so se è valido il discorso inverso.Ma dovrebbe non essere possibile calcolare la decomposizione.

[_prime_number]

Se non è definita positiva potrebbe comunque essere semidefinita positiva, quindi il tuo discorso logicamente non è corretto.

Paola