Dubbi circa matrici e applicazioni lineari associate
Buonasera a tutti, vengo a voi perché sto avendo alcuni problemi con le matrici associate ad un'applicazione lineare.
Nella fattispecie ho parecchi dubbi intorno al seguente:
Per quanto riguarda la prima richiesta ci sono. Mi perplime invece il secondo quesito, nel senso che ancora non sono riuscito a capire cosa significhi "scrivere la matrice di un'applicazione lineare a rispetto alle basi assegnate".
Scusate la banalità della domanda, ma non mi piace fingere di aver capito le cose.
Grazie in anticipo.
Nella fattispecie ho parecchi dubbi intorno al seguente:
Scrivere la matrice, rispetto alle basi canoniche, della proiezione sulle prime due componenti \(\displaystyle \pi: \mathbb{R^{3}} \rightarrow \mathbb{R^{2}}, \ (x_{1},x_{2},x_{3}) \rightarrow (x_{1},x_{2}) \). Considerando su \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \) la base \(\displaystyle V=\left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\} \) e su \(\displaystyle \mathbb{R^{2}} \) la base \(\displaystyle W=\left\{e_{1}-e_{2},e_{1}+2e_{2}\right\} \), scrivere la matrice di \(\displaystyle \pi \) rispetto a queste basi. (ove \(\displaystyle (e_{1},e_{2},...e_{n}) \) indica la base canonica).
Per quanto riguarda la prima richiesta ci sono. Mi perplime invece il secondo quesito, nel senso che ancora non sono riuscito a capire cosa significhi "scrivere la matrice di un'applicazione lineare a rispetto alle basi assegnate".
Scusate la banalità della domanda, ma non mi piace fingere di aver capito le cose.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao, spero di non sbagliarmi, comunque dovrebbe essere questa la soluzione.
In generale, se $A$ è una matrice associata all'applicazione lineare $L:bbbR^n to bbbR^k$ rispetto alle basi canoniche $E$, la matrice associata rispetto a due nuove basi $B$ di $bbbR^n$ e $C$ di $bbbR^k$ è data da
$N^{-1} A M$
dove $M$ è la matrice del cambio di base da $E$ in $B$ mentre $N$ è la matrice del cambio di base da $E$ in $C$ (ovviamente le due $E$ sono prima la base canonica di $bbbR^n$ e la seconda è la base canonica di $bbbR^k$).
Tornando all'esercizio la matrice associata a $pi$ rispetto alle basi canoniche (che hai già trovato) è
$((1,0,0),(0,1,0))$;
la nuova base di arrivo è $W={e_1-e_2,e_1+2e_2}={(1,-1),(1,2)}$ per cui la matrice del cambiamento di base dalla base canonica $E$ di $bbbR^2$ a $W$ e la sua inversa sono
$N=((1,1),(-1,2))$ e $N^{-1}=((2/3,-1/3),(1/3,1/3))$.
Dunque la matrice associata a $pi$ rispetto alle basi $E$ e $W$ è
$N^{-1}A=((2/3,-1/3),(1/3,1/3)) ((1,0,0),(0,1,0))=((2/3,-1/3,0),(1/3,1/3,0))$.
Salvo errori dovrebbe andare.
In generale, se $A$ è una matrice associata all'applicazione lineare $L:bbbR^n to bbbR^k$ rispetto alle basi canoniche $E$, la matrice associata rispetto a due nuove basi $B$ di $bbbR^n$ e $C$ di $bbbR^k$ è data da
$N^{-1} A M$
dove $M$ è la matrice del cambio di base da $E$ in $B$ mentre $N$ è la matrice del cambio di base da $E$ in $C$ (ovviamente le due $E$ sono prima la base canonica di $bbbR^n$ e la seconda è la base canonica di $bbbR^k$).
Tornando all'esercizio la matrice associata a $pi$ rispetto alle basi canoniche (che hai già trovato) è
$((1,0,0),(0,1,0))$;
la nuova base di arrivo è $W={e_1-e_2,e_1+2e_2}={(1,-1),(1,2)}$ per cui la matrice del cambiamento di base dalla base canonica $E$ di $bbbR^2$ a $W$ e la sua inversa sono
$N=((1,1),(-1,2))$ e $N^{-1}=((2/3,-1/3),(1/3,1/3))$.
Dunque la matrice associata a $pi$ rispetto alle basi $E$ e $W$ è
$N^{-1}A=((2/3,-1/3),(1/3,1/3)) ((1,0,0),(0,1,0))=((2/3,-1/3,0),(1/3,1/3,0))$.
Salvo errori dovrebbe andare.
Dopo aver fissato una base di $V$ ed una di $W$ sp. vettoriali (rispettivamente di dimensioni $n$ ed $m$), ad ogni applicazione lineare $L : V -> W$ si può associare una matrice $M$ (che dipende dalle basi scelte di $V$ e $W$) e viceversa. Puoi rappresentare quindi le applicazioni lineari con delle matrici ... Con tutti i vantaggi che ne derivano.
Il motivo per cui si può fare questo è che, in fin dei conti, l'applicazione lineare $L$ è ben determinata se si sanno quali sono i trasformati tramite $L$ degli elementi della base scelta di $V$ (teorema che avrai sicuramente visto).
Il motivo per cui si può fare questo è che, in fin dei conti, l'applicazione lineare $L$ è ben determinata se si sanno quali sono i trasformati tramite $L$ degli elementi della base scelta di $V$ (teorema che avrai sicuramente visto).
Grazie mille ad entrambi. Credo che tornerò ben presto ad annoiarvi perché questa algebra lineare mi sta dando non pochi grattacapi.
Ritorno quivi per abusare della vostra pazienza. Purtroppo gli spazi vettoriali faticano ad entrarmi nella testa.
L'esercizio che mi perplime è il seguente (mi limito a proporre il primo punto; sui successivi ritornerò in seguito):
Ora, quello che si intuisce immediatamente è che non è possibile determinare univocamente le immagini di tutti e tre i vettori della base in questione perché una delle tre relazioni fornite è deducibile dalle altre due. Da questo segue che uno dei tre vettori della base sarà mandato dall'applicazione \(\displaystyle \phi \) in un altro vettore del tipo \(\displaystyle av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \)... E' sufficiente questo per poter scrivere la matrice?
Ho il sospetto di aver sparato delle pistolettate, pertanto vi prego di essere pedanti e di strigliarmi per bene.
L'esercizio che mi perplime è il seguente (mi limito a proporre il primo punto; sui successivi ritornerò in seguito):
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) e sia \(\displaystyle \mathfrak{V}={v_{1},v_{2},v_{3}} \) una sua base. Si scrivano le matrici \(\displaystyle \alpha_{\mathfrak{V},\mathfrak{V}}(\phi) \) di tutte le applicazioni lineari \(\displaystyle \phi:V \rightarrow V \) soddisfacenti alle condizioni seguenti:
\(\displaystyle \phi(2v_{1}+v_{2})=2v_{1} - v_{2} \), \(\displaystyle \phi(v_{1}+2v_{2}-v_{3})=v_{1}-v_{2}+v_{3} \), \(\displaystyle \phi(v_{1}-v_{2}+v_{3})=v_{1}-v_{3} \).
Ora, quello che si intuisce immediatamente è che non è possibile determinare univocamente le immagini di tutti e tre i vettori della base in questione perché una delle tre relazioni fornite è deducibile dalle altre due. Da questo segue che uno dei tre vettori della base sarà mandato dall'applicazione \(\displaystyle \phi \) in un altro vettore del tipo \(\displaystyle av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \)... E' sufficiente questo per poter scrivere la matrice?
Ho il sospetto di aver sparato delle pistolettate, pertanto vi prego di essere pedanti e di strigliarmi per bene.
Hai trattato la teoria dei sistemi lineari? Dopo mangiato ti scrivo cosa ho pensato...
Allora, per la definizione di applicazione lineare sai che
$phi(a v_1+bv_2+cv_3)=a phi(v_1)+b phi(v_2)+ c phi(v_3)$ con $a,b,c in bbbQ$
dunque le condizioni su $phi$ si traducono nel seguente sistema
${(2 phi(v_1)+phi(v_2)=2v_1-v_2),(phi(v_1)+2 phi(v_2)-phi(v_3)=v_1-v_2+v_3),(phi(v_1)-phi(v_2)+phi(v_3)=v_1-v_3):}$
ora facendo un'osservazione analoga a quella fatta da te (volendo fare le cose per bene studi il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa per poi applicare Rouchè-Capelli...) vedi che le soluzioni dipendono da un parametro; infatti risolvendo il sistema ottieni
${(phi(v_2)=-2phi(v_1)+2v_1-v_2),(phi(v_3)=-3phi(v_1)+3v_1-v_2-v_3):}$.
Quindi le matrici associata alle mappe lineari $phi$ rispetto alla base $(v_1,v_2,v_3)$ soddisfacenti le condizioni della consegna saranno del tipo
$(w^t,(-2w+2v_1-v_2)^t,(-3w+3v_1-v_2-v_3)^t)$ con $w in V$
Spero di non aver scritto stupidaggini, per lo meno io lo avrei risolto così!
Comunque aspettiamo la risposta di Seneca che sicuramente ci darà utili consigli!
$phi(a v_1+bv_2+cv_3)=a phi(v_1)+b phi(v_2)+ c phi(v_3)$ con $a,b,c in bbbQ$
dunque le condizioni su $phi$ si traducono nel seguente sistema
${(2 phi(v_1)+phi(v_2)=2v_1-v_2),(phi(v_1)+2 phi(v_2)-phi(v_3)=v_1-v_2+v_3),(phi(v_1)-phi(v_2)+phi(v_3)=v_1-v_3):}$
ora facendo un'osservazione analoga a quella fatta da te (volendo fare le cose per bene studi il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa per poi applicare Rouchè-Capelli...) vedi che le soluzioni dipendono da un parametro; infatti risolvendo il sistema ottieni
${(phi(v_2)=-2phi(v_1)+2v_1-v_2),(phi(v_3)=-3phi(v_1)+3v_1-v_2-v_3):}$.
Quindi le matrici associata alle mappe lineari $phi$ rispetto alla base $(v_1,v_2,v_3)$ soddisfacenti le condizioni della consegna saranno del tipo
$(w^t,(-2w+2v_1-v_2)^t,(-3w+3v_1-v_2-v_3)^t)$ con $w in V$
Spero di non aver scritto stupidaggini, per lo meno io lo avrei risolto così!
Comunque aspettiamo la risposta di Seneca che sicuramente ci darà utili consigli!
Grazie mille, comincio ad avere le idee un filino più chiare.
@Seneca: ieri abbiamo iniziato a trattare la teoria dei sistemi lineari, quindi ho ancora poche nozioni nella valigia.
@Seneca: ieri abbiamo iniziato a trattare la teoria dei sistemi lineari, quindi ho ancora poche nozioni nella valigia.
"marco.bre":
Spero di non aver scritto stupidaggini, per lo meno io lo avrei risolto così!
Comunque aspettiamo la risposta di Seneca che sicuramente ci darà utili consigli!
Io ho fatto proprio come te, quindi credo sia corretto.
Domani mi dedicherò alla geometria, e quindi cercherò di concludere l'esercizio con i vostri suggerimenti, rendendovi partecipi di eventuali progressi.
Posso quindi porre \(\displaystyle w=av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \)?
In tal caso avrei:
\(\displaystyle \phi(v_{1})=av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \)
\(\displaystyle \phi(v_{2})=-2(av_{1} + bv_{2} + cv_{3})+2v_{1}-v_{2} \)
\(\displaystyle \phi(v_{3})=-3(av_{1} + bv_{2} + cv_{3}) + 3v_{1} - v_{2} - v_{3} \).
La matrice associata all'applicazione, rispetto alla base considerata, sarà:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a & 2-2a & 3-3a \\ b & -2b-1 & -3b -1 \\ c & -2c & -3c -1 \end{vmatrix} \)
A questo punto come posso trovare delle basi di nucleo e immagine?
In tal caso avrei:
\(\displaystyle \phi(v_{1})=av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \)
\(\displaystyle \phi(v_{2})=-2(av_{1} + bv_{2} + cv_{3})+2v_{1}-v_{2} \)
\(\displaystyle \phi(v_{3})=-3(av_{1} + bv_{2} + cv_{3}) + 3v_{1} - v_{2} - v_{3} \).
La matrice associata all'applicazione, rispetto alla base considerata, sarà:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a & 2-2a & 3-3a \\ b & -2b-1 & -3b -1 \\ c & -2c & -3c -1 \end{vmatrix} \)
A questo punto come posso trovare delle basi di nucleo e immagine?
Quali sono le definizioni di nucleo ed immagine di una applicazione lineare?
Io ho ragionato così, ed ho distinto due casi:
sicuramente si ha che \(\displaystyle \mathrm{im}(\phi) \supseteq \left \langle v_{1} - v_{2} + v_{3}, v_{1} - v_{3} \right \rangle \). Quindi - 1° caso - \(\displaystyle \phi(v_{1}) \; \in \; \left \langle v_{1} - v_{2} + v_{3}, v_{1} - v_{3} \right \rangle \) oppure - 2° caso - \(\displaystyle \phi(v_{1}) \; \notin \; \left \langle v_{1} - v_{2} + v_{3}, v_{1} - v_{3} \right \rangle \). Nel primo caso si ha che \(\displaystyle \mathrm{dim} \ \mathrm{ker}(\phi)=1 \) per la formula delle dimensioni (ma non capisco come trovarne una base), mentre nel secondo caso si ha che \(\displaystyle \mathrm{dim} \ \mathrm{ker}=0 \) e quindi una base di \(\displaystyle \mathrm{im}(\phi) \) sarà \(\displaystyle \phi(v_{1}), \; v_{1} - v_{2} + v_{3},\; v_{1} - v_{3} \) (perché se \(\displaystyle \phi(v_{1})\) non può essere scritto come combinazione lineare di \(\displaystyle v_{1} - v_{2} + v_{3} \) e \(\displaystyle v_{1} - v_{3} \) allora \(\displaystyle \alpha\phi(v_{1}) + \beta(v_{1} - v_{2} + v_{3})+\gamma( v_{1} - v_{3})=0 \ \leftrightarrow \ \alpha=\beta=\gamma=0 \)).
sicuramente si ha che \(\displaystyle \mathrm{im}(\phi) \supseteq \left \langle v_{1} - v_{2} + v_{3}, v_{1} - v_{3} \right \rangle \). Quindi - 1° caso - \(\displaystyle \phi(v_{1}) \; \in \; \left \langle v_{1} - v_{2} + v_{3}, v_{1} - v_{3} \right \rangle \) oppure - 2° caso - \(\displaystyle \phi(v_{1}) \; \notin \; \left \langle v_{1} - v_{2} + v_{3}, v_{1} - v_{3} \right \rangle \). Nel primo caso si ha che \(\displaystyle \mathrm{dim} \ \mathrm{ker}(\phi)=1 \) per la formula delle dimensioni (ma non capisco come trovarne una base), mentre nel secondo caso si ha che \(\displaystyle \mathrm{dim} \ \mathrm{ker}=0 \) e quindi una base di \(\displaystyle \mathrm{im}(\phi) \) sarà \(\displaystyle \phi(v_{1}), \; v_{1} - v_{2} + v_{3},\; v_{1} - v_{3} \) (perché se \(\displaystyle \phi(v_{1})\) non può essere scritto come combinazione lineare di \(\displaystyle v_{1} - v_{2} + v_{3} \) e \(\displaystyle v_{1} - v_{3} \) allora \(\displaystyle \alpha\phi(v_{1}) + \beta(v_{1} - v_{2} + v_{3})+\gamma( v_{1} - v_{3})=0 \ \leftrightarrow \ \alpha=\beta=\gamma=0 \)).
"Delirium":
Posso quindi porre \(\displaystyle w=av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \)?
Il discorso che fai non mi convince, mi spiego. Le applicazioni lineari $phi$ soddisfacenti quelle date condizioni sono infinite; infatti il loro insieme dipende da un parametro $w$ che nient'altro è che l'immagine del primo vettore della base, ossia $v_1$, attraverso $phi$. E' ovvio che questa sarà data dalla combinazione lineare dei tre vettori $v_1,v_2,v_3$ poiché questi costituiscono la nostra base per dominio e codominio. Quindi secondo me non ha molto senso cercare nucleo ed immagine di $phi$ finché non hai fissato il valore di $phi(v_1)$; in pratica così stai cercando il nucleo e l'immagine di un'applicazione lineare che soddisfi le caratteristiche date in consegna espressa rispetto ai coefficiente dell'immagine del primo vettore della base rispetto alla stessa!
Comunque sia trovare nucleo e immagine di un'applicazione lineare è una cosa piuttosto di routine.
Per prima cosa trovi il nucleo vedendo quali generici vettori del dominio sono mappati nel vettore nullo (se $A$ è la matrice associata al funzione lineare rispetto alle opportune basi, puoi farlo risolvendo il sistema $A (x,y,z)^t=0$).
Per trovare l'immagine ci sono diverse strade. Una piuttosto comune è ricavare la dimensione dell'immagine dal teorema di nullità+rango, supponiamo che questa sia $k$, e poi trovare $k$ vettori linearmente indipendenti presi dall'immagine della mappa (il modo più sbrigativo è prendere $k$ colonne linearmente indipendenti della matrice associata all'applicazione lineare); il generato di questi è l'immagine della funzione lineare.
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