Proprietà matrici
Ho alcune domande di teoria da verificare che mi creano molti dubbi:
--Se A e B , due matrici quadrate dello stesso ordine,sono invertibili e AB=BA,allora $A^(-1^)B^(-1)= B^(-1)A^(-1)$?
La scritta "sono invertibili" sta a significare che A è l'inversa di B e vicerversa,oppure che ognuna ha una sua inversa per fatti propri?
Il fatto che AB=BA significa che commutano,cioè che per loro vale la proprietà commutativa del prodotto,e quindi se se A fosse l'inversa di B e viceversa la proposizione sarebbe vera,giusto?
--A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine.Se esiste $A^(-1)$ e $B^(-1)$ e $A^(-1)B^(-1)=B^(-1)A^(-1)$ ,allora AB=BA?Questa proprio non saprei come dimostrarla
--Se A e B commutano ed esiste $B^(-1)$, allora $AB^(-1)=B^(-1)A$ ?
--Se A e B commutano,allora A e $B^(T)$ commutano? (la T indica la trasposta)
--Se tr$(A^(T))A=0$ ,allora A=0? (tr indica la traccia)
Sulle ultime non riesco proprio a ragionarci
--Se A e B , due matrici quadrate dello stesso ordine,sono invertibili e AB=BA,allora $A^(-1^)B^(-1)= B^(-1)A^(-1)$?
La scritta "sono invertibili" sta a significare che A è l'inversa di B e vicerversa,oppure che ognuna ha una sua inversa per fatti propri?
Il fatto che AB=BA significa che commutano,cioè che per loro vale la proprietà commutativa del prodotto,e quindi se se A fosse l'inversa di B e viceversa la proposizione sarebbe vera,giusto?
--A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine.Se esiste $A^(-1)$ e $B^(-1)$ e $A^(-1)B^(-1)=B^(-1)A^(-1)$ ,allora AB=BA?Questa proprio non saprei come dimostrarla
--Se A e B commutano ed esiste $B^(-1)$, allora $AB^(-1)=B^(-1)A$ ?
--Se A e B commutano,allora A e $B^(T)$ commutano? (la T indica la trasposta)
--Se tr$(A^(T))A=0$ ,allora A=0? (tr indica la traccia)
Sulle ultime non riesco proprio a ragionarci
Risposte
"Sono invertibili" indica che ognuna, singolarmente, ha inversa. Se avesse voluto dire che $A$ è l'inversa di $B$ avrebbe scritto qualcosa tipo "sono l'una l'inversa dell'altra". Tra l'altro, se questo fosse stato il caso non avrebbe avuto senso porre la condizione $AB=BA$ perché si sarebbe avuto $AB=BA=I$.
Considera che, date due matrici invertibili $A,B$ (di ordine $n$) vale sempre $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
Per dimostrare la tua affermazione, procedi in questo modo:
ipotesi: $A^{-1} B^{-1}= B^{-1}A^{-1}$
$AB=BA \Leftrightarrow B^{-1}A^{-1}AB=B^{-1}A^{-1} BA \Leftrightarrow B^{-1}A^{-1}AB=A^{-1} B^{-1} BA\Leftrightarrow I=I$
quindi è vero.
Per la prossima ti invito a seguire lo stesso procedimento: parti dalla cosa finale da dimostrare e prova, moltiplicando entrambi i membri per qualcosa di conveniente, a risalire a qualcosa di certamente vero.
Sull'esercizio della trasposta... non ho molto tempo per pensarci, secondo me la risposta è no. Prova a trovare un controesempio se non riesci a dimostrarlo.
Sull'ultimo, prova a costruire una matrice a traccia $0$ che non sia nulla.
Paola
Considera che, date due matrici invertibili $A,B$ (di ordine $n$) vale sempre $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
Per dimostrare la tua affermazione, procedi in questo modo:
ipotesi: $A^{-1} B^{-1}= B^{-1}A^{-1}$
$AB=BA \Leftrightarrow B^{-1}A^{-1}AB=B^{-1}A^{-1} BA \Leftrightarrow B^{-1}A^{-1}AB=A^{-1} B^{-1} BA\Leftrightarrow I=I$
quindi è vero.
Per la prossima ti invito a seguire lo stesso procedimento: parti dalla cosa finale da dimostrare e prova, moltiplicando entrambi i membri per qualcosa di conveniente, a risalire a qualcosa di certamente vero.
Sull'esercizio della trasposta... non ho molto tempo per pensarci, secondo me la risposta è no. Prova a trovare un controesempio se non riesci a dimostrarlo.
Sull'ultimo, prova a costruire una matrice a traccia $0$ che non sia nulla.
Paola
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