Forma canonica di Jordan

[abs1]

Sia

$B=((5,0,-2,0,0,0),(0,7,0,0,4,1),(2,0,1,0,0,0),(0,0,0,6,0,3),(0,-4,0,0,-1,0),(0,0,0,-3,0,0)).$

Ora se calcolo $|\lambda-B|$ trovo che $P_B(\lambda)=(x-3)^6,$ quindi c'è un unico autovalore $\lambda=3.$ Mi calcolo:

$B-3=((2,0,-2,0,0,0),(0,4,0,0,4,1),(2,0,-2,0,0,0),(0,0,0,3,0,3),(0,-4,0,0,-4,0),(0,0,0,-3,0,-3)),$ di rango 4;

$(B-3)^2=((0,0,0,0,0,0),(0,0,0,-3,0,1),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,-4),(0,0,0,0,0,0)),$ di rango 2, e

$(B-3)^3=((0,0,0,0,0,0),(0,0,0,-12,0,-12),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,12,0,12),(0,0,0,0,0,0)),$ di rango 1.

$(B-3)^4$ è la matrice nulla $0_{6\times 6}.$

Tralasciamo il calcolo della forma di Jordan che risulta essere

$J=((3,1,0,0,0,0),(0,3,0,0,0,0),(0,0,3,1,0,0),(0,0,0,3,1,0),(0,0,0,0,3,1),(0,0,0,0,0,3)).$

Mi interessa invece la matrice $P$ tale che $P^{-1}BP=J.$

Ora prendo $e_4=((0),(0),(0),(1),(0),(0))$ e calcolo

$(B-3)e_4=((0),(0),(0),(3),(0),(-3)),$

$(B-3)^2 e_4=((0),(-3),(0),(0),(0),(0)),$

$(B-3)^3 e_4=((0),(-12),(0),(0),(12),(0)).$

Ora questi tre vettori sono certamente vettori di $P.$ Le mie domande sono: dove prendo gli altri 2 vettori che mancano per ottenere $P$? E perché scelgo proprio $e_4?$ Prendo $e_4$ perché è "conveniente" in quanto riporta valori non nulli nelle potenze di $B-3?$
Per quanto riguarda la prima domanda io credevo si dovessero scegliere vettori indipendenti da quelli già trovati, ma mi vengono fuori matrici non invertibili, cioè singolari! Potreste per favore suggerirmi dove e come prendere gli altri due vettori e darmene un esempio di una $P_{6\times 6}$ tale che $P^{-1}BP=J$? Grazie!

[Principe2]

ma chi e' il pazzo che fa fare esercizi su matrici sei per sei? non te la prendere a male, ma credo che non stai ricevendo risposta perche' credo che nessuno abbia voglia di sprecare cosi tanto inchiostro per una domanda che probabilmente puo' essere riformulata nel caso 2 per 2.

[abs1]

No, perché fino alla forma 3 x 3 è assai semplice trovare la matrice $P$ cercata, è dalle 4 dimensioni in poi che io purtroppo inizio a perdermi. E comunque per uno che lo sa fare credo che partendo dai risultati già scritti da me sia una risposta veloce. Speriamo che qualcuno sia mosso da spirito caritatevole. Ho fede in questo, altrimenti chiederò a qualche compagno di corso più bravo di me. Buona domenica.

[Sk_Anonymous]

Attenzione: devi sempre essere conscio della "relazione di inscatolamento dei nuclei" con le loro relative dimensioni ( - questo nome l'ho inventato io adesso), ossia del fatto che \[\displaystyle \begin{matrix} \underbrace{\mbox{ker}(\phi - 3)}_{\text{dim} \; = \; 2} \end{matrix} \subset \begin{matrix} \underbrace{\mbox{ker}(\phi - 3)^{2}}_{\text{dim} \; = \; 4} \end{matrix} \subset \begin{matrix} \underbrace{\mbox{ker}(\phi - 3)^{3}}_{\text{dim} \; = \; 5} \end{matrix} \subset \begin{matrix} \underbrace{\mbox{ker}(\phi - 3)^{4}}_{\text{dim}\;=\;6} \end{matrix} =V \]
Per costruire la matrice di cambio base devi sempre tenere in considerazione le differenze tra le dimensioni dei nuclei così insaccati. In questo caso per saturare \(\displaystyle \mbox{ker}(\phi - 3)^{3} \) ti serve un autovettore \(\displaystyle v_{1} \) tale che \[\displaystyle \mbox{ker}(\phi -3)^{3} \oplus \langle v_{1} \rangle = \mbox{ker}(\phi-3)^{4}\]
Dove andare a prenderlo? In \(\displaystyle \mbox{ker}(\phi-3)^{4} \smallsetminus \mbox{ker}(\phi-3)^{3} \). Induttivamente, sarà necessario saturare \(\displaystyle \mbox{ker}(\phi - 3)^{2} \) con un altro vettore che sia indipendente dal primo. Qui ci viene in soccorso la teoria (riguardala bene se quanto ti dico è oscuro), e quindi possiamo scegliere \(\displaystyle (\phi-3)(v_{1}) \). Procedendo a ritroso ci si accorge tuttavia che \[\displaystyle \mbox{dim ker}(\phi-3)^{2} - \mbox{dim ker}(\phi-3)=2 \]
e che la "successione" di vettori \[\displaystyle ?,\ ?,\ (\phi-3)^{3}(v_{1}), \ (\phi-3)^{2}(v_{1}), \ (\phi-3)(v_{1}), \ v_{1} \] consta soltanto di 4 elementi. Allora è necessario prendere un altro vettore, in particolare un autovettore generalizzato di periodo \(\displaystyle 2 \) indipendente da \(\displaystyle (\phi-3)^{2}(v_{1}) \) in modo da poter saturare anche \(\displaystyle \mbox{ker}(\phi-3) \).
I sei vettori considerati formano infine una base dello spazio e forniscono la matrice "jordanizzante".

[abs1]

Grazie mille Delirium. A dire la verità molta della teoria mi è ancora molto ostica, però la matrice $P$ tale che $P^{-1}BP=J$ l'ho finalmente trovata, e questo è un bel passo avanti
Grazie ancora!