Distanza tra 2 punti e lunghezza di una funzione
Ciao a tutti,
mi sono appena iscritto e ho già una domanda per voi esperti!
Supponiamo di avere i seguenti due punti: (0,0) e (5,25).
La distanza tra questi due punti è, secondo il teorema di Pitagora, $sqrt(5^2 + 25^2) ~= 25.49$
La prima domanda che mi pongo è: cosa è più corretto dire? "La distanza tra i due punti è 25.49" o "il vettore tra (0,0) e (5,25) è lungo 25.49"?
O "la norma del vettore è 25.49"?
Dopo queste semplici domande vorrei passare a qualcosa di un poco più complesso: è corretto dire che la lunghezza della funzione $f(x) = 5x$ nel dominio [0,5] è 25.49?
Supponiamo ora di avere la funzione $f(x) = x^2$ (sempre in [0,5]). È corretto dire che la lunghezza della funzione è:
$\int_{0}^{5} sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dx = \int_{0}^{5} sqrt((1)^2 + (2x)^2) dx ~= 25.87 $ (si veda wikipedia)
Per finire, ed estrapolando il tutto nel mondo reale, è giusto affermare che:
- la distanza tra i due punti è 25.49
- se una persona camminnasse tra questi due punti seguendo la strada più corta percorrerebbe 25.49 unità nel sistema di riferimento x,y
- se una persona camminnasse tra questi due punti seguendo la "strada" $f(x) = x^2$ percorrerebbe invece 25.87 unità
Spero di essere riuscito a spiegarmi!
Ringrazio tutti per il prezioso aiuto!
Guido
mi sono appena iscritto e ho già una domanda per voi esperti!
Supponiamo di avere i seguenti due punti: (0,0) e (5,25).
La distanza tra questi due punti è, secondo il teorema di Pitagora, $sqrt(5^2 + 25^2) ~= 25.49$
La prima domanda che mi pongo è: cosa è più corretto dire? "La distanza tra i due punti è 25.49" o "il vettore tra (0,0) e (5,25) è lungo 25.49"?
O "la norma del vettore è 25.49"?
Dopo queste semplici domande vorrei passare a qualcosa di un poco più complesso: è corretto dire che la lunghezza della funzione $f(x) = 5x$ nel dominio [0,5] è 25.49?
Supponiamo ora di avere la funzione $f(x) = x^2$ (sempre in [0,5]). È corretto dire che la lunghezza della funzione è:
$\int_{0}^{5} sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dx = \int_{0}^{5} sqrt((1)^2 + (2x)^2) dx ~= 25.87 $ (si veda wikipedia)
Per finire, ed estrapolando il tutto nel mondo reale, è giusto affermare che:
- la distanza tra i due punti è 25.49
- se una persona camminnasse tra questi due punti seguendo la strada più corta percorrerebbe 25.49 unità nel sistema di riferimento x,y
- se una persona camminnasse tra questi due punti seguendo la "strada" $f(x) = x^2$ percorrerebbe invece 25.87 unità
Spero di essere riuscito a spiegarmi!
Ringrazio tutti per il prezioso aiuto!
Guido
Risposte
Ho fatto un domanda così complicata che non nessuno sa aiutarmi?
O forse non mi sono spiegato bene...
O forse non mi sono spiegato bene...
Si può parlare di lunghezza di una curva e quindi semmai del grafico di una funzione, lunghezza di una funzione non l'ho mai sentito. Per il resto non è che hai fatto proprio domande di matematica, comunque il concetto più o meno è quello, sennò neanche si parlerebbe di "lunghezza". Non trovi?
Grazie della risposta! Ok, in effetti lunghezza di una funzione non pare aver molto senso!
Comunque io vorrei cercare di capire alcuni aspetti "fisici" grazie alla matematica.
In particolare vorrei capire, camminando da A a B, come calcolare il percorso fatto!
Comunque io vorrei cercare di capire alcuni aspetti "fisici" grazie alla matematica.
In particolare vorrei capire, camminando da A a B, come calcolare il percorso fatto!
Integrale di linea?
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