Diagonalizzabilità, forma di Jordan et similia
Se da un lato ho (stranamente) ben compreso una buona parte delle tecniche per diagonalizzare/triangolarizzare una matrice e della teoria associata, dall'altro c'è un dubbio che ancora non sono riuscito a dissipare.
Come ben tutti sapete, una matrice quadrata \(\displaystyle A \) di ordine \(\displaystyle n \) è diagonalizzabile se esistono una matrice quadrata \(\displaystyle P \) di ordine \(\displaystyle n \) invertibile ed una matrice diagonale \(\displaystyle \Delta \) tali che \[\displaystyle \Delta=PAP^{\; -1} \]
E cioè, detto in altre parole, se la matrice dell'endomorfismo preso in considerazione è diagonale rispetto ad una base differente da quella canonica, o rispetto comunque alla base che si sta considerando.
Il problema è anche mi è ancora parzialmente oscuro il meccanismo che sta al di sotto dell'intera baracca. Non capisco cioè per quale motivo si debbano scegliere proprio gli autovettori per comporre la matrice di cambiamento di base, non mi è ben chiara questa parte di teoria generale.
Provo ad esternare meglio il mio dubbio: considero per semplicità una matrice di ordine \(\displaystyle 3 \) con \(\displaystyle 3 \) autovalori distinti, \(\displaystyle c_{1} \), \(\displaystyle c_{2} \) e \(\displaystyle c_{3} \), ognuno con nullità \(\displaystyle 1 \). Cosa sto facendo, a livello vettoriale, quando moltiplico la matrice di cambiamento di base per la matrice di partenza? E cosa sto facendo quando moltiplico poi il risultato per l'inversa della matrice di cambiamento di base?
Lo stesso dubbio sorge nel momento in cui trovo la matrice di cambiamento di base per jordanizzare, ma credo si tratti semplicemente di un'appendice della perplessità.
Se qualcuno volesse spendere due paroline al riguardo, gliene sarei grato.
Saluti
Come ben tutti sapete, una matrice quadrata \(\displaystyle A \) di ordine \(\displaystyle n \) è diagonalizzabile se esistono una matrice quadrata \(\displaystyle P \) di ordine \(\displaystyle n \) invertibile ed una matrice diagonale \(\displaystyle \Delta \) tali che \[\displaystyle \Delta=PAP^{\; -1} \]
E cioè, detto in altre parole, se la matrice dell'endomorfismo preso in considerazione è diagonale rispetto ad una base differente da quella canonica, o rispetto comunque alla base che si sta considerando.
Il problema è anche mi è ancora parzialmente oscuro il meccanismo che sta al di sotto dell'intera baracca. Non capisco cioè per quale motivo si debbano scegliere proprio gli autovettori per comporre la matrice di cambiamento di base, non mi è ben chiara questa parte di teoria generale.
Provo ad esternare meglio il mio dubbio: considero per semplicità una matrice di ordine \(\displaystyle 3 \) con \(\displaystyle 3 \) autovalori distinti, \(\displaystyle c_{1} \), \(\displaystyle c_{2} \) e \(\displaystyle c_{3} \), ognuno con nullità \(\displaystyle 1 \). Cosa sto facendo, a livello vettoriale, quando moltiplico la matrice di cambiamento di base per la matrice di partenza? E cosa sto facendo quando moltiplico poi il risultato per l'inversa della matrice di cambiamento di base?
Lo stesso dubbio sorge nel momento in cui trovo la matrice di cambiamento di base per jordanizzare, ma credo si tratti semplicemente di un'appendice della perplessità.
Se qualcuno volesse spendere due paroline al riguardo, gliene sarei grato.
Saluti
Risposte
Sto riguardando la stessa roba. C'è una proposizione che forse risponde parzialmente alla tua domanda. Cito:
PROBLEMA. Data una trasformazione lineare $T:V\rightarrow V$ sul campo $\mathbb{K}$, esiste una base rispetto alla quale essa si scriva con una matrice diagonale? In quali casi ciò è possibile o, in altri termini, quando è che l'operatore è diagonalizzabile?
PROPOSIZIONE. Sia $T:V\rightarrow V$ una trasformazione lineare sul campo $\mathbb{K}$. Se $V$ ammette una base di autovettori $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ di $T$ di autovalori rispettivamente $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$ allora la matrice di $T$ in questa base è la matrice diagonale $\Lambda$ i cui elementi sono ordinatamente gli autovalori, e viceversa.
Significa che se ho una base di autovettori allora scrivendo l'endomorfismo in questa base ottengo un endomorfismo con solo la diagonale non nulla e composta da autovalori. Quel che è particolare è il viceversa, ovvero che se ho una base rispetto alla quale l'endomorfismo ha forma diagonale, allora gli elementi della base sono autovettori, con autovalori ordinatamente gli elementi della diagonale.
La dimostrazione si dovrebbe ottenere ricordando le relazioni che portano al cambiamento di base ed utilizzando in queste relazioni $T(v_{1})=\lambda_{1}v_{1},T(v_{1})=\lambda_{2}v_{2},...,T(v_{n})=\lambda_{n}v_{n}$. Nella dimostrazione inversa invece si scrive la matrice dell'endomorfismo nella sua forma diagonale e computandolo con un elemento di tale base $T(v_{i})=\lambda_{i}v_{i}$ si dovrebbe notare che tale elemento è effettivamente un autovettore con autovalore $\lambda_{i}$.
Non sono sicuro quindi ti prego di verificare quanto ho scritto.
PROBLEMA. Data una trasformazione lineare $T:V\rightarrow V$ sul campo $\mathbb{K}$, esiste una base rispetto alla quale essa si scriva con una matrice diagonale? In quali casi ciò è possibile o, in altri termini, quando è che l'operatore è diagonalizzabile?
PROPOSIZIONE. Sia $T:V\rightarrow V$ una trasformazione lineare sul campo $\mathbb{K}$. Se $V$ ammette una base di autovettori $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ di $T$ di autovalori rispettivamente $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$ allora la matrice di $T$ in questa base è la matrice diagonale $\Lambda$ i cui elementi sono ordinatamente gli autovalori, e viceversa.
Significa che se ho una base di autovettori allora scrivendo l'endomorfismo in questa base ottengo un endomorfismo con solo la diagonale non nulla e composta da autovalori. Quel che è particolare è il viceversa, ovvero che se ho una base rispetto alla quale l'endomorfismo ha forma diagonale, allora gli elementi della base sono autovettori, con autovalori ordinatamente gli elementi della diagonale.
La dimostrazione si dovrebbe ottenere ricordando le relazioni che portano al cambiamento di base ed utilizzando in queste relazioni $T(v_{1})=\lambda_{1}v_{1},T(v_{1})=\lambda_{2}v_{2},...,T(v_{n})=\lambda_{n}v_{n}$. Nella dimostrazione inversa invece si scrive la matrice dell'endomorfismo nella sua forma diagonale e computandolo con un elemento di tale base $T(v_{i})=\lambda_{i}v_{i}$ si dovrebbe notare che tale elemento è effettivamente un autovettore con autovalore $\lambda_{i}$.
Non sono sicuro quindi ti prego di verificare quanto ho scritto.
Mmm, leggerò con calma. Intanto ti ringrazio.
Se qualcun'altro avesse qualche nota da fare, ne sarei ben lieto.
Se qualcun'altro avesse qualche nota da fare, ne sarei ben lieto.
Provo a spiegarti come vedo io le cose, è molto semplice. Per semplicità prendo il caso $3 \times 3$.
Tratto dagli appunti che avevo fatto l'anno scorso, ti riporto lo schema per costruire la matrice associata ad un'applicazione lineare:
http://img4.imageshack.us/img4/2694/78825228.jpg
Sia $f : V -> V$ un endomorfismo e sia $B = {v_1 , v_2 , v_3}$ una base di $V$. Allora la matrice di $f$ rispetto alla base $B$ è data, per definizione, da:
$M_B (f) = ((a_(11), a_(12), a_(13)),(a_(21), a_(22), a_(23)),(a_(31), a_(32), a_(33)))$
I vettori colonna che compongono la matrice sono (vd. lo schema) le componenti dei vettori $f(v_1)$ , $f(v_2)$ , $f(v_3)$ rispetto alla base data $v_1 , v_2 , v_3$ (che, sempre rifacendosi allo schema, sono $w_1 , w_2 , w_3$, a destra della matrice, incolonnati (*)), che è la stessa del dominio.
Quindi:
$f(v_1) = a_(11) v_1 + a_(21) v_2 + a_(31) v_3$
$f(v_2) = a_(12) v_1 + a_(22) v_2 + a_(32) v_3$
$f(v_3) = a_(13) v_1 + a_(23) v_2 + a_(33) v_3$
Ora supponiamo invece di avere una base di autovettori di $f$, $B' = { y_1 , y_2 , y_3 }$; come risulterà la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $B'$?
$f(y_1) = \lambda_1 y_1 + 0 * y_2 + 0 * y_3 = \lambda_1 y_1$
$f(y_2) = 0 * y_1 + \lambda_2 y_2 + 0 * y_3 = \lambda_2 y_2$
$f(y_3) = 0 * y_1 + 0* y_2 + \lambda_3 * y_3 = \lambda_3 y_3$
Indipercui la matrice sarà:
$M_(B') (f) = ((\lambda_1, 0, 0),(0, \lambda_2 , 0),(0, 0, \lambda_3))$.
Spero di essere stato chiaro. Se hai dubbi riprendiamo il discorso...
______________
(*): Ovviamente nello schema riportato $v_1 , ... , v_n$ è una base di $V$, il dominio, mentre $w_1 , ... , w_m$ è una base di $W$, lo spazio di arrivo. Nel tuo caso hai un endomorfismo, quindi fissi una sola base e nell'esempio $3 \times 3$ che ti ho sottoposto è $v_1 , v_2 , v_3$.
Tratto dagli appunti che avevo fatto l'anno scorso, ti riporto lo schema per costruire la matrice associata ad un'applicazione lineare:
http://img4.imageshack.us/img4/2694/78825228.jpg
Sia $f : V -> V$ un endomorfismo e sia $B = {v_1 , v_2 , v_3}$ una base di $V$. Allora la matrice di $f$ rispetto alla base $B$ è data, per definizione, da:
$M_B (f) = ((a_(11), a_(12), a_(13)),(a_(21), a_(22), a_(23)),(a_(31), a_(32), a_(33)))$
I vettori colonna che compongono la matrice sono (vd. lo schema) le componenti dei vettori $f(v_1)$ , $f(v_2)$ , $f(v_3)$ rispetto alla base data $v_1 , v_2 , v_3$ (che, sempre rifacendosi allo schema, sono $w_1 , w_2 , w_3$, a destra della matrice, incolonnati (*)), che è la stessa del dominio.
Quindi:
$f(v_1) = a_(11) v_1 + a_(21) v_2 + a_(31) v_3$
$f(v_2) = a_(12) v_1 + a_(22) v_2 + a_(32) v_3$
$f(v_3) = a_(13) v_1 + a_(23) v_2 + a_(33) v_3$
Ora supponiamo invece di avere una base di autovettori di $f$, $B' = { y_1 , y_2 , y_3 }$; come risulterà la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $B'$?
$f(y_1) = \lambda_1 y_1 + 0 * y_2 + 0 * y_3 = \lambda_1 y_1$
$f(y_2) = 0 * y_1 + \lambda_2 y_2 + 0 * y_3 = \lambda_2 y_2$
$f(y_3) = 0 * y_1 + 0* y_2 + \lambda_3 * y_3 = \lambda_3 y_3$
Indipercui la matrice sarà:
$M_(B') (f) = ((\lambda_1, 0, 0),(0, \lambda_2 , 0),(0, 0, \lambda_3))$.
Spero di essere stato chiaro. Se hai dubbi riprendiamo il discorso...
______________
(*): Ovviamente nello schema riportato $v_1 , ... , v_n$ è una base di $V$, il dominio, mentre $w_1 , ... , w_m$ è una base di $W$, lo spazio di arrivo. Nel tuo caso hai un endomorfismo, quindi fissi una sola base e nell'esempio $3 \times 3$ che ti ho sottoposto è $v_1 , v_2 , v_3$.
Mi sono accorto però che il tuo dubbio non finisce qui...
Comunque, dopo questo lungo preambolo, puoi applicare un noto teorema di cambiamento di base per un endomorfismo.
$M_(B') (f) = M_(B')^B (id) * M_(B) (f) * M_(B)^(B') (id)$
Ovvero, per quanto detto prima:
$\Delta = diag( \lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3 ) = M_(B')^B (id) * ((a_(11), a_(12), a_(13)),(a_(21), a_(22), a_(23)),(a_(31), a_(32), a_(33))) * M_(B)^(B') (id)$. Resta da capire come sono fatte le due matrici di cambiamento di base.
Sempre tenendo a mente lo schema (post precedente), supponendo che la base $B = {y_1 , y_2 , y_3}$ sia quella canonica:
$M_(B')^(B) (id) = ?$
Scriviamoci gli autovettori mettendo in evidenza le componenti (di questi) rispetto alla base canonica $B$:
$id(v_1) = v_1 = x_(11) e_1 + x_(21) e_2 + x_(31) e_3 = (x_(11) , x_(21) , x_(31) )$
$id(v_2) = v_2 = x_(12) e_1 + x_(22) e_2 + x_(32) e_3 = (x_(12) , x_(22) , x_(32) )$
$id(v_3) = v_3 = x_(13) e_1 + x_(23) e_2 + x_(33) e_3 = (x_(13) , x_(23) , x_(33) )$
Con $x_(ij) in K$.
Quindi: $M_(B')^(B) (id) = ((x_(11) , x_(12) , x_(13) ), (x_(21) , x_(22) , x_(23) ),(x_(31) , x_(32) , x_(33) )) $ è la matrice di cambiamento di base. Le colonne sono proprio le coordinate degli autovettori $v_j$, $j = 1, 2,3$ (rispetto alla base canonica) che io ho indicato con $x_(ij)$.
Mi auguro di non aver fatto errori.
Comunque, dopo questo lungo preambolo, puoi applicare un noto teorema di cambiamento di base per un endomorfismo.
$M_(B') (f) = M_(B')^B (id) * M_(B) (f) * M_(B)^(B') (id)$
Ovvero, per quanto detto prima:
$\Delta = diag( \lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3 ) = M_(B')^B (id) * ((a_(11), a_(12), a_(13)),(a_(21), a_(22), a_(23)),(a_(31), a_(32), a_(33))) * M_(B)^(B') (id)$. Resta da capire come sono fatte le due matrici di cambiamento di base.
Sempre tenendo a mente lo schema (post precedente), supponendo che la base $B = {y_1 , y_2 , y_3}$ sia quella canonica:
$M_(B')^(B) (id) = ?$
Scriviamoci gli autovettori mettendo in evidenza le componenti (di questi) rispetto alla base canonica $B$:
$id(v_1) = v_1 = x_(11) e_1 + x_(21) e_2 + x_(31) e_3 = (x_(11) , x_(21) , x_(31) )$
$id(v_2) = v_2 = x_(12) e_1 + x_(22) e_2 + x_(32) e_3 = (x_(12) , x_(22) , x_(32) )$
$id(v_3) = v_3 = x_(13) e_1 + x_(23) e_2 + x_(33) e_3 = (x_(13) , x_(23) , x_(33) )$
Con $x_(ij) in K$.
Quindi: $M_(B')^(B) (id) = ((x_(11) , x_(12) , x_(13) ), (x_(21) , x_(22) , x_(23) ),(x_(31) , x_(32) , x_(33) )) $ è la matrice di cambiamento di base. Le colonne sono proprio le coordinate degli autovettori $v_j$, $j = 1, 2,3$ (rispetto alla base canonica) che io ho indicato con $x_(ij)$.
Mi auguro di non aver fatto errori.
Ciao Seneca, intanto ti ringrazio molto per la risposta.
Il tuo primo post l'ho seguito perfettamente, come del resto la prima parte del secondo. Nella seconda parte hai centrato perfettamente il nocciolo della questione, ma devo rileggere il tutto con calma perché non mi tornano un paio di cose, e notazionali, e concettuali (non ho ancora capito, per esempio, in che modo "saltano fuori" gli autovettori e - soprattutto - perché). Ci sono ancora questi fatti sui cambi di base che non mi entrano nella zucca.
Il tuo primo post l'ho seguito perfettamente, come del resto la prima parte del secondo. Nella seconda parte hai centrato perfettamente il nocciolo della questione, ma devo rileggere il tutto con calma perché non mi tornano un paio di cose, e notazionali, e concettuali (non ho ancora capito, per esempio, in che modo "saltano fuori" gli autovettori e - soprattutto - perché). Ci sono ancora questi fatti sui cambi di base che non mi entrano nella zucca.
Provo a spiegarmi meglio (dilungandomi un po'...)
Il perché entrano in gioco gli autovettori è spiegato nel primo post: cioè si vede che scrivendo la matrice di $f$ rispetto ad una base di autovettori per $f$, la matrice è "particolarmente simpatica" perché è una matrice diagonale.
Ma come ottenere una relazione che leghi la matrice diagonale $M_(B') (f)$ con la matrice da cui sei partito $M_B (f)$, con $B = { e_1 , e_2 , e_3 }$ base canonica ?
Devi usare un teorema di cambiamento di base, cioè devi scrivere esplicitamente $M_(B')^(B) (id_V)$ , $M_(B)^(B') (id_V)$ (la formula è nel secondo post).
Come scrivere la prima di queste due matrici?
Cercando di imitare lo schema, scrivendo sotto la matrice, in corrispondenza di ogni colonna, i trasformati tramite $id_V$ dei vettori di $B'$ (la base scelta nel dominio $V$) e a destra della matrice i vettori della base canonica $B$ (scelta per il codominio, che poi è sempre $V$), otteniamo (non curarti delle parentesi quadre... fai finta che non ci siano):
$ ((x_(11), x_(12), x_(13)),(x_(21), x_(22), x_(23)),(x_(31), x_(32), x_(33))) [(e_1),(e_2),(e_3)]$
[size=85]$[ id(v_1) , id(v_2) , id(v_3) ]$[/size]
Dalla matrice è evidente quali sono le componenti dei vettori ($id(v_1) , id(v_2) , id(v_3)$, cioè) $v_1 , v_2 , v_3$ rispetto alla base canonica $B = {e_1 , e_2 , e_3}$; queste si trovano (guardando lo schema):
$id(v_1) = v_1 = x_(11) e_1 + x_(21) e_2 + x_(31) e_3 = (x_(11) , x_(21) , x_(31) )$
$id(v_2) = v_2 = x_(12) e_1 + x_(22) e_2 + x_(32) e_3 = (x_(12) , x_(22) , x_(32) )$
$id(v_3) = v_3 = x_(13) e_1 + x_(23) e_2 + x_(33) e_3 = (x_(13) , x_(23) , x_(33) )$
Quindi è chiaro che le colonne della matrice di cambiamento di base siano le coordinate degli autovettori rispetto alla base canonica.
Il perché entrano in gioco gli autovettori è spiegato nel primo post: cioè si vede che scrivendo la matrice di $f$ rispetto ad una base di autovettori per $f$, la matrice è "particolarmente simpatica" perché è una matrice diagonale.
Ma come ottenere una relazione che leghi la matrice diagonale $M_(B') (f)$ con la matrice da cui sei partito $M_B (f)$, con $B = { e_1 , e_2 , e_3 }$ base canonica ?
Devi usare un teorema di cambiamento di base, cioè devi scrivere esplicitamente $M_(B')^(B) (id_V)$ , $M_(B)^(B') (id_V)$ (la formula è nel secondo post).
Come scrivere la prima di queste due matrici?
Cercando di imitare lo schema, scrivendo sotto la matrice, in corrispondenza di ogni colonna, i trasformati tramite $id_V$ dei vettori di $B'$ (la base scelta nel dominio $V$) e a destra della matrice i vettori della base canonica $B$ (scelta per il codominio, che poi è sempre $V$), otteniamo (non curarti delle parentesi quadre... fai finta che non ci siano):
$ ((x_(11), x_(12), x_(13)),(x_(21), x_(22), x_(23)),(x_(31), x_(32), x_(33))) [(e_1),(e_2),(e_3)]$
[size=85]$[ id(v_1) , id(v_2) , id(v_3) ]$[/size]
Dalla matrice è evidente quali sono le componenti dei vettori ($id(v_1) , id(v_2) , id(v_3)$, cioè) $v_1 , v_2 , v_3$ rispetto alla base canonica $B = {e_1 , e_2 , e_3}$; queste si trovano (guardando lo schema):
$id(v_1) = v_1 = x_(11) e_1 + x_(21) e_2 + x_(31) e_3 = (x_(11) , x_(21) , x_(31) )$
$id(v_2) = v_2 = x_(12) e_1 + x_(22) e_2 + x_(32) e_3 = (x_(12) , x_(22) , x_(32) )$
$id(v_3) = v_3 = x_(13) e_1 + x_(23) e_2 + x_(33) e_3 = (x_(13) , x_(23) , x_(33) )$
Quindi è chiaro che le colonne della matrice di cambiamento di base siano le coordinate degli autovettori rispetto alla base canonica.
Comunque non ti preoccupare... Sono sempre state antipatiche anche a me queste storielle del cambiamento di base. 
A livello intuitivo ci sono perfettamente, mentre a livello formale devo ragionarci, ma ci sono quasi, ed i vostri spunti sono stati determinanti. Vi ringrazio entrambi, Seneca e Sergio.
@Sergio: sì, il nostro professore ci ha detto che nullità e molteplicità geometrica sono sinonimi. Utilizza/o il termine nullità per evitare ogni volta di distinguere la molteplicità geometrica da quella algebrica.
@Sergio: sì, il nostro professore ci ha detto che nullità e molteplicità geometrica sono sinonimi. Utilizza/o il termine nullità per evitare ogni volta di distinguere la molteplicità geometrica da quella algebrica.
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