Esercizi su matrici
Buongiorno, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?:)
Data la matrice
$A=((0, 2, 0, 0),(0, 0, 2, 0),(0, 0, 0, 2),(2, 0, 0, 0))$
Quanto vale $A^ 13$ ?
Naturalmente non viene richiesto di fare tutti i prodotti, bisogna trovare una "scorciatoia".
Facendo due prodotti intanto ho notato che $A^4$ è una matrice scalare data da $2^4*I$... com'è possibile sfruttare questa cosa?
Data la matrice
$A=((0, 2, 0, 0),(0, 0, 2, 0),(0, 0, 0, 2),(2, 0, 0, 0))$
Quanto vale $A^ 13$ ?
Naturalmente non viene richiesto di fare tutti i prodotti, bisogna trovare una "scorciatoia".
Facendo due prodotti intanto ho notato che $A^4$ è una matrice scalare data da $2^4*I$... com'è possibile sfruttare questa cosa?
Risposte
$A^{13}=A^{12} A=(A^4)^3 A$
Paola
Paola
Perfetto, grazie!! Sarebbe un errore scrivere questo risultato come
$(2^12*I)A$ ?
$(2^12*I)A$ ?
In realtà, poiché ti chiedono di calcolare $A^13$, direi che dovresti andare fino in fondo. E' un calcolo che si fa immediatamente..
"Seneca":
In realtà, poiché ti chiedono di calcolare $A^13$, direi che dovresti andare fino in fondo. E' un calcolo che si fa immediatamente..
Dovrebbe essere
$A=((0, 8192, 0, 0),(0, 0, 8192, 0),(0, 0, 0, 8192),(8192, 0, 0, 0))$ ?
Esattamente. 
Vi chiedo aiuto per un altro esercizio, che ho svolto ma non sono sicura del procedimento....
Data la matrice
$A=((1, 2, λ+6, 1),(1, 0, λ, 0),(3λ, -1, 0, -1/2lambda^2))$
Per quali valori di λ si ha $r(A)=2$ ?
In primo luogo ho cercato un minore di ordine 2 a determinante certamente non nullo e non influenzato dal parametro, che sarebbe quello di nord-ovest. Infatti
$det((1, 2),(1, 0))=-2$
A questo punto per rispondere alla domanda dell'esercizio sarebbe sufficiente fare in modo che gli orlati di tale minore abbiano entrambi determinante nullo, attraverso il valore da dare a λ.
Gli orlati sono due, e ne calcolo il determinante:
$det((1, 2, λ+6),(1, 0, λ),(3λ, -1, 0))=6λ-(λ+6)+λ = 6λ+6$ Per annullarlo devo imporre $λ=-1$
$det((1, 2, 1),(1, 0, 0),(3λ, -1, -1/2 lambda^2))=-1+lambda^2$ Per annullarlo devo imporre $λ=1$ oppure $-1$.
Naturalmente prendo la soluzione comune e infine direi $λ=-1$. L'unico dubbio che mi sorge è che la domanda chiede "per quali VALORI...."... E' possibile che ve ne sia più d'uno? Grazie in anticipo, ve ne sarei grata se mi faceste notare anche qualche eventuale errore nel procedimento!
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Approfitto per postare un altro esercizio.
Siano date le matrici A e B:
$A=((a, b, c),(d, e, f),(g, h, i))$
$B=((-a, c, b-2c),(-d, f, e-2f),(-g, i, h-2i))$
So inoltre che $|A^T|=1/3$
Quanto vale $|3B|$ ?
Credo che la strada più logica da perseguire sia quella di ricondurre B ad essere uguale ad A, sfruttando le proprietà dei determinanti... Purtroppo però credo di non essere riuscita a individuarle tutte...
- Intanto so che il determinante di una matrice resta invariato se una linea viene sommata ad un'altra moltiplicata per una costante, ed è quello che accade con 2^ e 3^ colonna della matrice B. Pertanto possono anche "eliminare" quei -2c, -2f e -2i.
Ottengo la seguente matrice:
$B=((-a, c, b),(-d, f, e),(-g, i, h))$
- Posso a questo punto "scambiare" 2^ e 3^ colonna, ricordando però che il determinante cambia di segno! Avrò quindi la matrice
$B=((-a, b, c),(-d, e, f),(-g, h, i))$
e un determinante che sarà $-|B|$
.... e poi???
le matrici comunque non sono uguali, posso semplicemente prendere il determinante di A con segno opposto per dire che questo è il determinante di B? :/
Data la matrice
$A=((1, 2, λ+6, 1),(1, 0, λ, 0),(3λ, -1, 0, -1/2lambda^2))$
Per quali valori di λ si ha $r(A)=2$ ?
In primo luogo ho cercato un minore di ordine 2 a determinante certamente non nullo e non influenzato dal parametro, che sarebbe quello di nord-ovest. Infatti
$det((1, 2),(1, 0))=-2$
A questo punto per rispondere alla domanda dell'esercizio sarebbe sufficiente fare in modo che gli orlati di tale minore abbiano entrambi determinante nullo, attraverso il valore da dare a λ.
Gli orlati sono due, e ne calcolo il determinante:
$det((1, 2, λ+6),(1, 0, λ),(3λ, -1, 0))=6λ-(λ+6)+λ = 6λ+6$ Per annullarlo devo imporre $λ=-1$
$det((1, 2, 1),(1, 0, 0),(3λ, -1, -1/2 lambda^2))=-1+lambda^2$ Per annullarlo devo imporre $λ=1$ oppure $-1$.
Naturalmente prendo la soluzione comune e infine direi $λ=-1$. L'unico dubbio che mi sorge è che la domanda chiede "per quali VALORI...."... E' possibile che ve ne sia più d'uno? Grazie in anticipo, ve ne sarei grata se mi faceste notare anche qualche eventuale errore nel procedimento!
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Approfitto per postare un altro esercizio.
Siano date le matrici A e B:
$A=((a, b, c),(d, e, f),(g, h, i))$
$B=((-a, c, b-2c),(-d, f, e-2f),(-g, i, h-2i))$
So inoltre che $|A^T|=1/3$
Quanto vale $|3B|$ ?
Credo che la strada più logica da perseguire sia quella di ricondurre B ad essere uguale ad A, sfruttando le proprietà dei determinanti... Purtroppo però credo di non essere riuscita a individuarle tutte...
- Intanto so che il determinante di una matrice resta invariato se una linea viene sommata ad un'altra moltiplicata per una costante, ed è quello che accade con 2^ e 3^ colonna della matrice B. Pertanto possono anche "eliminare" quei -2c, -2f e -2i.
Ottengo la seguente matrice:
$B=((-a, c, b),(-d, f, e),(-g, i, h))$
- Posso a questo punto "scambiare" 2^ e 3^ colonna, ricordando però che il determinante cambia di segno! Avrò quindi la matrice
$B=((-a, b, c),(-d, e, f),(-g, h, i))$
e un determinante che sarà $-|B|$
.... e poi???
le matrici comunque non sono uguali, posso semplicemente prendere il determinante di A con segno opposto per dire che questo è il determinante di B? :/
uppo 
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