Base di uno spazio vettoriale
Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come trovare una base dello spazio vettoriale generato dalla famiglia
\(U = {u_1(2,1,-3) u_2(1,1,-2) u_3(1,-2,1) u_4(-3,1,2)}\) ?
Grazie!
(so che devo trovare un insieme di vettori linearmente indipendenti tra questi 4, ho letto la guida di sergio nella sezione di geometria, ma non dice niente a riguardo.. passa oltre dando per scontata la fattibilità di questo caso, che per me non è per niente scontata)
\(U = {u_1(2,1,-3) u_2(1,1,-2) u_3(1,-2,1) u_4(-3,1,2)}\) ?
Grazie!
(so che devo trovare un insieme di vettori linearmente indipendenti tra questi 4, ho letto la guida di sergio nella sezione di geometria, ma non dice niente a riguardo.. passa oltre dando per scontata la fattibilità di questo caso, che per me non è per niente scontata)
Risposte
Sia $ A $ la matrice che ha come righe le componenti dei $ 4 $ vettori assegnati: il numero di righe non nulle di una matrice ridotta per righe ottenuta da $ A $ (cioè il suo rango) è pari al numero dei vettori linearmente indipendenti da te cercato.
Ok seguendo ciò che hai detto ho ricavato la matrice ridotta, ottenendo:
\(\begin{pmatrix}
1 &1 &-2 \\0
&-3 &3 \\0
&0 &0 \\0
&0 &0
\end{pmatrix}\)
però l'esercizio poi mi chiede di ricavare le componenti, rispetto a questa base, di ciascuno dei vettori di U.. mi sapresti indicare in che modo?
Io pensavo che dai 4 vettori dovessi sceglierne 3 linearmente indipendenti (magari considerando il determinante, quindi andando a tentativi) per ricavare la matrice da cui calcolare gli autovalori e autovettori
E' tutto un pò confuso
\(\begin{pmatrix}
1 &1 &-2 \\0
&-3 &3 \\0
&0 &0 \\0
&0 &0
\end{pmatrix}\)
però l'esercizio poi mi chiede di ricavare le componenti, rispetto a questa base, di ciascuno dei vettori di U.. mi sapresti indicare in che modo?
Io pensavo che dai 4 vettori dovessi sceglierne 3 linearmente indipendenti (magari considerando il determinante, quindi andando a tentativi) per ricavare la matrice da cui calcolare gli autovalori e autovettori
E' tutto un pò confuso
Stando ai tuoi calcoli, il rango di $ A $ è $ 2 $, pertanto la base è composta da $ 2 $ vettori. Sia per esempio
\[ B = (\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) \]
Per quali valori di $ \alpha $ e $ \beta $ il vettore $ \mathbf{u}_3 $ è combinazione lineare dei vettori di $ B $? In formule:
\[ \mathbf{u}_3 = \alpha \; \mathbf{u}_1 + \beta \; \mathbf{u}_2 \]
\[ B = (\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) \]
Per quali valori di $ \alpha $ e $ \beta $ il vettore $ \mathbf{u}_3 $ è combinazione lineare dei vettori di $ B $? In formule:
\[ \mathbf{u}_3 = \alpha \; \mathbf{u}_1 + \beta \; \mathbf{u}_2 \]
allora sarebbe \(u_3=(3,2,-5)\) .. però mi sorgono due domande:
i vettori che devo considerare sono proprio quelli non nulli che mi rimangono dalla semplificazione? (in questo caso sarebbero \(u_2\) e \(u_3\) poiché durante la riduzione a gradini li ho spostati come primo e secondo vettore riga di \(A\))
il vettore \(u_3\) è colui che completa la mia matrice sulla quale andrò a calcolare gli autovalori/autovettori?
i vettori che devo considerare sono proprio quelli non nulli che mi rimangono dalla semplificazione? (in questo caso sarebbero \(u_2\) e \(u_3\) poiché durante la riduzione a gradini li ho spostati come primo e secondo vettore riga di \(A\))
il vettore \(u_3\) è colui che completa la mia matrice sulla quale andrò a calcolare gli autovalori/autovettori?
Mi sa che non ci siamo capiti.
Innanzitutto osserviamo che $ \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \} \subseteq \mathbb{K}^3 $.
Il vettore delle componenti di $ \mathbf{u}_3 $ rispetto a $ B $ è un vettore colonna di 2 righe, cioè
\[ [\mathbf{u}_3]_B = \pmatrix{ \alpha \\ \beta } \]
Per trovare i valori opportuni di $ \alpha $ e $ \beta $ considera l'uguaglianza
\[ \mathbf{u}_3 = \alpha \; \mathbf{u}_1+ \beta \; \mathbf{u}_2 \]
Passando in componenti rispetto alla base canonica di $ \mathbb{K}^3 $, otteniamo
\[ \pmatrix{ 1 \\ −2 \\ 1 } = \alpha \; \pmatrix{ 2 \\ 1 \\ −3 } + \beta \; \pmatrix{ 1 \\ 1 \\ −2 } \]
cioè
\[ \pmatrix{ 2 \alpha + \beta \\ \alpha + \beta \\ −3 \alpha −2 \beta } = \pmatrix{ 1 \\ −2 \\ 1 } \]
Veniamo ora alle tue domande.
Dato che non ci sono vettori nulli in $ U $, bastano due suoi vettori qualsiasi per costruire una base di $ \mathcal{L}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4) $.
Non c'entrano nulla autovalori e autovettori. Dimenticali.
Innanzitutto osserviamo che $ \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \} \subseteq \mathbb{K}^3 $.
Il vettore delle componenti di $ \mathbf{u}_3 $ rispetto a $ B $ è un vettore colonna di 2 righe, cioè
\[ [\mathbf{u}_3]_B = \pmatrix{ \alpha \\ \beta } \]
Per trovare i valori opportuni di $ \alpha $ e $ \beta $ considera l'uguaglianza
\[ \mathbf{u}_3 = \alpha \; \mathbf{u}_1+ \beta \; \mathbf{u}_2 \]
Passando in componenti rispetto alla base canonica di $ \mathbb{K}^3 $, otteniamo
\[ \pmatrix{ 1 \\ −2 \\ 1 } = \alpha \; \pmatrix{ 2 \\ 1 \\ −3 } + \beta \; \pmatrix{ 1 \\ 1 \\ −2 } \]
cioè
\[ \pmatrix{ 2 \alpha + \beta \\ \alpha + \beta \\ −3 \alpha −2 \beta } = \pmatrix{ 1 \\ −2 \\ 1 } \]
Veniamo ora alle tue domande.
Dato che non ci sono vettori nulli in $ U $, bastano due suoi vettori qualsiasi per costruire una base di $ \mathcal{L}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4) $.
Non c'entrano nulla autovalori e autovettori. Dimenticali.
Ho capito, quindi \(\begin{pmatrix}
2\alpha+\beta\\\alpha+\beta
\\-3\alpha-2\beta
\end{pmatrix}\) sono le componenti che definiscono tutti i vettori in \(U\)?
Scusa io ero fissato con gli autovalori/autovettori perché in un altro esercizio mi viene chiesto di trovare una base che contenga il massimo numero possibile di autovettori di una funzione data.
Confondevo erroneamente le "componenti" con gli autovettori
Ti ringrazio per i chiarimenti
2\alpha+\beta\\\alpha+\beta
\\-3\alpha-2\beta
\end{pmatrix}\) sono le componenti che definiscono tutti i vettori in \(U\)?
Scusa io ero fissato con gli autovalori/autovettori perché in un altro esercizio mi viene chiesto di trovare una base che contenga il massimo numero possibile di autovettori di una funzione data.
Confondevo erroneamente le "componenti" con gli autovettori
Ti ringrazio per i chiarimenti
Per te, quale tra i seguenti insiemi è $ U $?
\[ \mathbf{(1)} \qquad U = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \} \]
\[ \mathbf{(2)} \qquad U = \mathcal{L}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4) \]
Nel caso (1) la risposta alla tua domanda è no, nel caso (2) la risposta è sì.
\[ \mathbf{(1)} \qquad U = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \} \]
\[ \mathbf{(2)} \qquad U = \mathcal{L}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4) \]
Nel caso (1) la risposta alla tua domanda è no, nel caso (2) la risposta è sì.
Naturalmente \(U\) è la 1.
Però il testo mi chiede di trovare le componenti di \(ciascuno\) elemento di \(U\), e sinceramente non sto capendo come fare.. mi sono riletto le slide del docente dall'inizio, ma non ne vengo a capo.
In realtà avrei bisogno di vedere un esercizio svolto per poterci ragionare sopra, c'è troppa astrazione e tutto ciò che trovo in rete è vago, ma grazie lo stesso per averci provato
Però il testo mi chiede di trovare le componenti di \(ciascuno\) elemento di \(U\), e sinceramente non sto capendo come fare.. mi sono riletto le slide del docente dall'inizio, ma non ne vengo a capo.
In realtà avrei bisogno di vedere un esercizio svolto per poterci ragionare sopra, c'è troppa astrazione e tutto ciò che trovo in rete è vago, ma grazie lo stesso per averci provato
Guarda che è molto più semplice di quello che sembra.
Se tu fissi la base \( B = (\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}) \) è ovvio che le componenti di $ \mathbf{u}_1 $ rispetto a $ B $ sono $ ((1),(0)) $ e che le componenti di $ \mathbf{u}_2 $ rispetto a $ B $ sono $ ((0),(1)) $.
La parte "succosa" dell'esercizio è determinare le componenti di $ \mathbf{u}_3 $ e $ \mathbf{u}_4 $ e per farlo si procede come ti ho indicato.
Se tu fissi la base \( B = (\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}) \) è ovvio che le componenti di $ \mathbf{u}_1 $ rispetto a $ B $ sono $ ((1),(0)) $ e che le componenti di $ \mathbf{u}_2 $ rispetto a $ B $ sono $ ((0),(1)) $.
La parte "succosa" dell'esercizio è determinare le componenti di $ \mathbf{u}_3 $ e $ \mathbf{u}_4 $ e per farlo si procede come ti ho indicato.
Ok credo proprio di avere capito, ho fatto un esercizio simile per sicurezza!
Almeno questa tipologia di esercizi adesso è molto più chiara!
Ti ringrazio molto per avere avuto pazienza
Almeno questa tipologia di esercizi adesso è molto più chiara!
Ti ringrazio molto per avere avuto pazienza
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