Trovare vettore di norma 3 ortogonale al piano
Salve a tutti, in un esercizio mi chiede di determinare il piano passante per questi tre punti P=(3,-1,1), Q=(2,0,1), R=(2,3,2) e poi di determinare un vettore di norma 3 ortogonale al piano H.
Il piano H l'ho ricavato e viene H: x+y-3z=-1
il vettore di norma 3 non so come si ricava, come posso procedere?
Il piano H l'ho ricavato e viene H: x+y-3z=-1
il vettore di norma 3 non so come si ricava, come posso procedere?
Risposte
Per definizione di prodotto scalare un generico vettore ortogonale a quel piano è \[\displaystyle v_{\alpha}=\alpha \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \] con \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \).
Si dovrà poi porre \(\displaystyle \lVert v_{\alpha} \rVert = \sqrt{\alpha^{2} + \alpha^{2} + 9\alpha^{2}}=3 \), da cui \(\displaystyle \alpha=\pm \frac{3}{\sqrt{11}} \).
Si dovrà poi porre \(\displaystyle \lVert v_{\alpha} \rVert = \sqrt{\alpha^{2} + \alpha^{2} + 9\alpha^{2}}=3 \), da cui \(\displaystyle \alpha=\pm \frac{3}{\sqrt{11}} \).
potresti spiegarmi meglio per favore?
Allora: l'equazione del piano è \(\displaystyle x+y-3z=-1 \), il che significa che i punti appartenenti a tale piano soddisfano quell'equazione; invece, le coordinate dei vettori che "appartengono" al piano, soddisfano l'equazione omogenea associata a quella di cui sopra, ossia \(\displaystyle x+y-3z=0 \).
Del resto due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo; e guarda caso \[\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}=x+y-3z=0 \] il che implica che il vettore \[\displaystyle v=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \] è ortogonale al piano. Quindi lo sono tutti i suoi multipli, e il resto, ora, dovrebbe esserti chiaro.
Del resto due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo; e guarda caso \[\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}=x+y-3z=0 \] il che implica che il vettore \[\displaystyle v=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \] è ortogonale al piano. Quindi lo sono tutti i suoi multipli, e il resto, ora, dovrebbe esserti chiaro.
"Delirium":
le coordinate dei vettori che "appartengono" al piano, soddisfano l'equazione omogenea associata a quella di cui sopra, ossia \(\displaystyle x+y-3z=0 \).
Per una maggiore chiarezza direi che le coordinate dei vettori che appartengono alla giacitura del piano affine soddisfano l'equazione omogenea...
... o al sottospazio direttore, volendo essere altrettanto pignoli. Io non volevo in questa sede esserlo, ma pazienza.
"Delirium":
... o al sottospazio direttore, volendo essere altrettanto pignoli.
Che uscita risentita (condita con un po' di nozionismo, come se dubitassi della tua preparazione e l'appunto di prima fosse rivolto a te)...
E poi, che diamine... Precisi, non pignoli; ed è proprio questa la sede per esserlo, per dipanare le ambiguità.
[OT]
@Seneca: Macché uscita risentita. In principio ho virgolettato volontariamente il verbo appartengono perché il tono del topic mi sembrava volesse privilegiare l'approccio intuitivo al problema, e pertanto ho trascurato per un attimo il giusto formalismo. Ma potrei aver compiuto un errore di valutazione, mica lo nego.
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@Seneca: Macché uscita risentita. In principio ho virgolettato volontariamente il verbo appartengono perché il tono del topic mi sembrava volesse privilegiare l'approccio intuitivo al problema, e pertanto ho trascurato per un attimo il giusto formalismo. Ma potrei aver compiuto un errore di valutazione, mica lo nego.
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ok 
grazie mille ne approfitto per chiedere un'altra cosa stupida, ma che comunque non riesco a capire, o ad immaginare visivamente. Per calcolare il piano passante per tre punti, tra i vari modi c'è quello di considerare le componenti dei due vettori e poi fare la prodotto vettoriale fra questi due, ecco visivamente non riesco a capire perchè si deve fare questo, perchè il piano che si deve cercare deve essere ortogonale? io l'avrei cercato parallelo. Non so se avete capito la mia domanda. Grazie in anticipo.
grazie mille ne approfitto per chiedere un'altra cosa stupida, ma che comunque non riesco a capire, o ad immaginare visivamente. Per calcolare il piano passante per tre punti, tra i vari modi c'è quello di considerare le componenti dei due vettori e poi fare la prodotto vettoriale fra questi due, ecco visivamente non riesco a capire perchè si deve fare questo, perchè il piano che si deve cercare deve essere ortogonale? io l'avrei cercato parallelo. Non so se avete capito la mia domanda. Grazie in anticipo.
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