Matrice elevata ad esponente
Ciao a tutti, in un compito passato del mio professore ho trovato questo esercizio.
Determinare $ A^2016 $ dove $ A= ( ( sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 ),( -sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 ) ) $ .
Il risultato è $ A= ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ .
Lui dice di applicare il teorema di Hamilton-Cayley, ma in questo modo non trovo $ A^2 $ ? Io ho provato ad applicarlo seguendo vari esempi etc ma trovo comunque la matrice elevata al quadrato e non elevata a 2016... Dovrebbe essere un esercizio banale, ma io non lo capisco.
Grazie per l'aiuto.
Determinare $ A^2016 $ dove $ A= ( ( sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 ),( -sqrt(2)/2 , sqrt(2)/2 ) ) $ .
Il risultato è $ A= ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ .
Lui dice di applicare il teorema di Hamilton-Cayley, ma in questo modo non trovo $ A^2 $ ? Io ho provato ad applicarlo seguendo vari esempi etc ma trovo comunque la matrice elevata al quadrato e non elevata a 2016... Dovrebbe essere un esercizio banale, ma io non lo capisco.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
E quanto ti viene $A^2$?
Seguendo questo esempio http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... ey#Esempio , mi viene $ ( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $ .
Sì, anche a me viene così. Ora applica lo stesso teorema per trovare $A^4$ (partendo ovviamennte da $A^2$)
Dovresti avere $A^4 = I$. Dunque $A^2016 = (A^4)^504 = I^504 = I$
Dovresti avere $A^4 = I$. Dunque $A^2016 = (A^4)^504 = I^504 = I$
Scusa, se non è chiedere troppo, potresti spiegarmi come si arriva ad $ A^4 $ ? Sinceramente non lo capisco. Grazie.
Se posso intromettermi, dico due parole.
Il fatto che ti chiedano di calcolare una potenza cosi elevata, significa che quell'elemento e' sicuramente periodico.
E cioè devi trovare il $o(A) = min{M >0, M in ZZ : A^m = ID}$.
Come lo trovi? Per via diretta può funzionare,specie se non sei a conoscenza di teoremi particolari.
Noti che $A!=Id, A^2!=Id, A^3!= , A^4=id}$ e che quindi $o(A)=4$. Ed essendo $4$ un divisore di $2016$ , giungi a dire che $A^2016=A^4=Id$.
Domanda,
quanto vale allora $A^2017 $?
Il fatto che ti chiedano di calcolare una potenza cosi elevata, significa che quell'elemento e' sicuramente periodico.
E cioè devi trovare il $o(A) = min{M >0, M in ZZ : A^m = ID}$.
Come lo trovi? Per via diretta può funzionare,specie se non sei a conoscenza di teoremi particolari.
Noti che $A!=Id, A^2!=Id, A^3!= , A^4=id}$ e che quindi $o(A)=4$. Ed essendo $4$ un divisore di $2016$ , giungi a dire che $A^2016=A^4=Id$.
Domanda,
quanto vale allora $A^2017 $?
Ciao Kashaman, il problema è che io non ho capito come si passa da $ A^2 $ ad $ A^4 $ e come faccio a dire che $ A^4 = I $ . Fino a determinare $ A^2 $ ci sono, mi manca il resto.
Ciao Pongo, forse qualcun'altro meglio di me saprà dirti.
Io essendo abbastanza "novello" XD non conosco altro metodo per calcolare il periodo di una matrice che moltiplicarla $n$ volte con se stessa. Forse l'esercizio richiedeva metodi più formali nel calcolare $A^2016$ ,in tal caso qualcun altro più avanti riuscirà a darti una spiegazione :p
Io essendo abbastanza "novello" XD non conosco altro metodo per calcolare il periodo di una matrice che moltiplicarla $n$ volte con se stessa. Forse l'esercizio richiedeva metodi più formali nel calcolare $A^2016$ ,in tal caso qualcun altro più avanti riuscirà a darti una spiegazione :p
Ok ok grazie lo stesso 
Vediamo se qualcuno puo' spiegarmelo
Vediamo se qualcuno puo' spiegarmelo
Puoi osservare che la matrice data è una matrice di rotazione di angolo $- pi/2$: $A = ((cos(-pi/2) , - sin(- pi/2)),(sin(- pi/2) , cos(- pi/2)))$
$A^4$ non è altro che una rotazione di $- 2 \pi$, cioè l'identità.
$A^4$ non è altro che una rotazione di $- 2 \pi$, cioè l'identità.
Il problema è, come arrivarci se uno non si accorge di questo? Qui ( http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... ey#Esempio ) fa vedere come passare da $ A^2 $ a $ A^4 $ .. ma che crtiterio usa? come fa? non si capisce!
Mi spiace, non conosco il teorema in questione.
Il teorema di Cayley-Hamilton dice che $ A $ soddisfa la sua equazione caratteristica, cioè
\[ A^2-A \; \text{tr}\ A + \text{det}\ A = 0 \]
Dunque
\[ A^2 = A \; \text{tr}\ A - \text{det}\ A \]
Calcolare $ A^4 $ è immediato se si ragiona nel seguente modo:
\[ A^3 = A^2 \; A \]
\[ A^4 = A^3 \; A \]
\[ A^2-A \; \text{tr}\ A + \text{det}\ A = 0 \]
Dunque
\[ A^2 = A \; \text{tr}\ A - \text{det}\ A \]
Calcolare $ A^4 $ è immediato se si ragiona nel seguente modo:
\[ A^3 = A^2 \; A \]
\[ A^4 = A^3 \; A \]
"Pongo":Hai $A^2 = ((0,1),(-1,0))$
Scusa, se non è chiedere troppo, potresti spiegarmi come si arriva ad $ A^4 $ ? Sinceramente non lo capisco. Grazie.
La traccia di $A^2 $ è $0$, il suo determinante è $1$
Dunque $A^4 = 0*A^2 +1*I=I$
Grazie mille ora è tutto chiaro!
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