[Teoria] Operatore autoaggiunto

[Gianni911]

Ciao a tutti ,qualcuno può speigarmi ,in cosa consiste la definizione di operatore autoaggiunto
Data applicazione $ A:X->X $
$ A(u)*v=u*A(v) $ $ u,v in cc(X) $
corrispende ad una matrice per vettore??
magari con un esempio pratico ..
grazie

[Alexp1]

Ciao, un operatore autoaggiunto è un operatore simmetrico..un esempio concreto (non so se tu lo abbia già incontrato) è l'operatore di Weingarten ($W_(P_0)$) (giusto per rimanere nell'ambito della GD ).

$W_(P_0)(v)w = vW_(P_0)(w)$
considerando $v=P_u(u_0, v_0)$ e $w = P_v(u_0, v_0)$ (con $P_u$ e $P_v$ intendo i vettori che costituiscono una base nello spazio vettoriale tangente ad una superficie) e tenendo conto che
$W_(P_0)Pu(u_0, v_0)=-N_u(u_0, v_0)$
$W_(P_0)P_v(u_0, v_0)=-Nv(u_0,v_0)$
occore dimostrare che
$-N_u(u_0, v_0)P_v(u_0, v_0)=-P_u(u_0, v_0)N_v(u_0; v_0)$
essendo $P_u$ e $P_v$ ortogonali a $N$ (con $N=N(u_0,v_0)$ intendo il versore normale alla superficie in $P_0$), ossia
$P_u(u, v)N(u, v)=0$
$P_v(u, v)N(u, v)=0$
ci si accorge che derivando la prima rispetto a $v$ e la seconda rispetto a $u$ si ottiene
$P_(uv)(u, v)
N(u, v)+P_u(u, v)N_v(u, v)=0$
$P_(vu)(u, v)N(u, v)+P_v(u, v)N_u(u, v)=0$
da cui
$-P_u(u, v)N_v(u, v)=P_(uv)(u, v)N(u, v)=-P_v(u, v)N_u(u, v)$
che è esattamente l'eguaglianza desiderata!

Ora qui ti ho fatto l'esempio dell'operatore di Weingarten, ma qualsiasi operatore lineare simmetrico, si dice autoaggiunto.

[Alexp1]

Ahh mi sono dimenticato di specificarti (ma era sottinteso) che $P_(uv)=P_(vu)$, ovviamente si parla di superficie regolare, quindi $\inC^2$ almeno...