Equazione circonferenza?
Ho il seguente problema: Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz, sono dati il punto $ P(0,3,1) $ e la retta $ r:{ ( x=t ),( y=2+2t),( z=t ):} $ . Determinare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza di centro P e tangente ad r.
Io ho ragionato in questo modo: un vettore direzionale della retta r è $ Vr=(1,2,1) $ e un suo punto è per esempio $ (0,2,0) $
il piano $ K $ della crf è quello avente vettore direzionale $ (1,2,1) ^^ (C-S) $ con $ (C-S)= (0,1,1) $ e passante per il centro. Il piano mi risulta essere : $ x-y+z+2=0 $ . Per trovare il raggio invece devo fare la distanza del centro C dalla retta r, per cui mi trovo il piano ortogonale alla retta r e passante per C, dopodiché interseco il piano con r e trovo il punto P1 proiezione ortogonale di c su r;
il raggio è la distanza tra i due punti e mi risulta essere $ sqrt(2)/2 $ ; infine l'equazione della crf è:
$ { ( x^2+(y-3)^2+(z-1)^2=1/2 ),( z-y+z+2=0 ):} $
il mio dubbio riguarda trovare il piano ove giace la circonferenza.. è corretto il procedimento che ho svolto? oppure avrei anche potuto dire che il piano della circonferenza ha vettore normale uguale al vettore direzionale della retta r, quindi, (1,2,1) e passa per il centro c? ho un dubbio riguardo a ciò, potreste chiarirmi meglio la differenza tra il procedimento che ho riportato qui sopra e quello che vi ho appena citato?
grazie mille è molto importante, domani ho l'esame.
Io ho ragionato in questo modo: un vettore direzionale della retta r è $ Vr=(1,2,1) $ e un suo punto è per esempio $ (0,2,0) $
il piano $ K $ della crf è quello avente vettore direzionale $ (1,2,1) ^^ (C-S) $ con $ (C-S)= (0,1,1) $ e passante per il centro. Il piano mi risulta essere : $ x-y+z+2=0 $ . Per trovare il raggio invece devo fare la distanza del centro C dalla retta r, per cui mi trovo il piano ortogonale alla retta r e passante per C, dopodiché interseco il piano con r e trovo il punto P1 proiezione ortogonale di c su r;
il raggio è la distanza tra i due punti e mi risulta essere $ sqrt(2)/2 $ ; infine l'equazione della crf è:
$ { ( x^2+(y-3)^2+(z-1)^2=1/2 ),( z-y+z+2=0 ):} $
il mio dubbio riguarda trovare il piano ove giace la circonferenza.. è corretto il procedimento che ho svolto? oppure avrei anche potuto dire che il piano della circonferenza ha vettore normale uguale al vettore direzionale della retta r, quindi, (1,2,1) e passa per il centro c? ho un dubbio riguardo a ciò, potreste chiarirmi meglio la differenza tra il procedimento che ho riportato qui sopra e quello che vi ho appena citato?
grazie mille è molto importante, domani ho l'esame.
Risposte
Il piano della circonferenza fa parte del fascio di piani di asse $r$. In particolare sarà quel piano del fascio passante per $P$.
Per cui $r=\{(x=z),(y=2+2x):}$ Da cui il fascio $x-z+k(y-2-2x)=0$; imponendo il passaggio per $P$ $(0-1+k(3-2)=0$ si ha $k=1$. Per cui il piano della circonferenza è $x-z+y-2-2x=0$, cioè $-x+y-z-2=0$ ovvero $x-y+z+2=0$, come da te indicato.
Per cui $r=\{(x=z),(y=2+2x):}$ Da cui il fascio $x-z+k(y-2-2x)=0$; imponendo il passaggio per $P$ $(0-1+k(3-2)=0$ si ha $k=1$. Per cui il piano della circonferenza è $x-z+y-2-2x=0$, cioè $-x+y-z-2=0$ ovvero $x-y+z+2=0$, come da te indicato.
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