Applicazioni lineari. Non riesco a capirle!
Salve ragazzi,
oggi ho intrapeso lo studio delle applicazioni lineari, non l avessi mai fatto! non ho capito molto per non dire niente. Dalla definizione di applicazione lineare si ha:
f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2); f(v) = f(v)
ciò che non riesco a capire è cosa sta a significare quella lettera 'f' ! come dovrei vederla/leggerla? Help please
oggi ho intrapeso lo studio delle applicazioni lineari, non l avessi mai fatto! non ho capito molto per non dire niente. Dalla definizione di applicazione lineare si ha:
f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2); f(v) = f(v)
ciò che non riesco a capire è cosa sta a significare quella lettera 'f' ! come dovrei vederla/leggerla? Help please
Risposte
E' l'applicazione. Così verifichi la linearità secondo definizione: link. Se non è chiaro chiedi pure.
Non riesco ancora a capire come agisce un applicazione lineare. trasforma un vettore del dominio in uno del codominio? Non mi è affatto chiaro purtroppo 
Prima di tutto ti invito a scrivere la definizione di applicazione (o funzione).
Ricorda come è definito uno spazio vettoriale. Hai gli elementi di un gruppo \(V\) e gli elementi di un campo \(\mathbb{K}\). E' definita una operazione di composizione fra gli elementi dei due insiemi che ad un elemento di \(V\) e ad uno di \(\mathbb{K}\) ne associa uno di \(V\). Si dice che \(V\) è uno spazio vettoriale sul campo \(\mathbb{K}\).
In particolare se \(\alpha \in \mathbb{K}\) e \(v \in V\) allora \(\alpha v \in V\). Ad esempio se \(3 \in \mathbb{R}\) e \((2,3,0)\in \mathbb{R}^{3}\) allora \(3\cdot (2,3,0)=(6,9,0)\in \mathbb{R}^{3}\). Qui \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e \(V=\mathbb{R}^{3}\). Le proprietà del campo reale sono note. Quelle di \(\mathbb{R}^{3}\) sono le proprietà della somma fra vettori.
Dato un secondo spazio vettoriale \(W\) definito sullo stesso campo \(\mathbb{K}\) (e puoi considerare per semplicità \(V=W\)), una applicazione \(f:V\rightarrow W\) è lineare se soddisfa \(f(v+v')=f(v)+f(v')\) e \(f(\alpha v)=\alpha f(v)\) per vettori e scalari qualsiasi. Ricordando quanto detto prima, la seconda ha senso perché \(\alpha v \in V\). \(f(v),f(v')\) appartengono a \(W\).
Credo che il problema sia che non capisci l'utilità della definizione. Dovresti cercare qualche esempio pratico sul libro. Prova a considerare l'applicazione \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) definita come \(f(v)=3v\) (moltiplica un vettore per tre) e vedi se soddisfa le proprietà di linearità, anche se è un esempio stupido. Esplicita la somma fra vettori usando ad esempio \(v=(x_{0},y_{0})\) e \(v'=(x_{1},y_{1})\).
In particolare se \(\alpha \in \mathbb{K}\) e \(v \in V\) allora \(\alpha v \in V\). Ad esempio se \(3 \in \mathbb{R}\) e \((2,3,0)\in \mathbb{R}^{3}\) allora \(3\cdot (2,3,0)=(6,9,0)\in \mathbb{R}^{3}\). Qui \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e \(V=\mathbb{R}^{3}\). Le proprietà del campo reale sono note. Quelle di \(\mathbb{R}^{3}\) sono le proprietà della somma fra vettori.
Dato un secondo spazio vettoriale \(W\) definito sullo stesso campo \(\mathbb{K}\) (e puoi considerare per semplicità \(V=W\)), una applicazione \(f:V\rightarrow W\) è lineare se soddisfa \(f(v+v')=f(v)+f(v')\) e \(f(\alpha v)=\alpha f(v)\) per vettori e scalari qualsiasi. Ricordando quanto detto prima, la seconda ha senso perché \(\alpha v \in V\). \(f(v),f(v')\) appartengono a \(W\).
Credo che il problema sia che non capisci l'utilità della definizione. Dovresti cercare qualche esempio pratico sul libro. Prova a considerare l'applicazione \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) definita come \(f(v)=3v\) (moltiplica un vettore per tre) e vedi se soddisfa le proprietà di linearità, anche se è un esempio stupido. Esplicita la somma fra vettori usando ad esempio \(v=(x_{0},y_{0})\) e \(v'=(x_{1},y_{1})\).
Immagina che un'applicazione lineare sia una macchinetta che prende un vettore da uno spazio e ti restituisce un vettore di un altro spazio. In particolare questa macchinetta ha delle regole:
- manda uno stesso vettore in entrata nello stesso vettore in uscita,
- manda una somma di vettori in entrata nella somma dei singoli vettori in uscita.
Grazie a queste se ne possono ricavare altre direttamente:
- manda un multiplo di un vettore in entrata nello stesso multiplo del vettore in uscita,
- manda il vettore nullo in entrata nel vettore nullo in uscita.
- per descrivere il funzionamento della macchina basta studiare i vettori di base in entrata, $e_1,...,e_i, ..., e_n$ che altro non sono che i vettori che hanno 1 al posto i e 0 in ogni altra posizione.
- manda uno stesso vettore in entrata nello stesso vettore in uscita,
- manda una somma di vettori in entrata nella somma dei singoli vettori in uscita.
Grazie a queste se ne possono ricavare altre direttamente:
- manda un multiplo di un vettore in entrata nello stesso multiplo del vettore in uscita,
- manda il vettore nullo in entrata nel vettore nullo in uscita.
- per descrivere il funzionamento della macchina basta studiare i vettori di base in entrata, $e_1,...,e_i, ..., e_n$ che altro non sono che i vettori che hanno 1 al posto i e 0 in ogni altra posizione.
"Maci86":
Immagina che un'applicazione lineare sia una macchinetta che prende un vettore da uno spazio e ti restituisce un vettore di un altro spazio [...]
- manda uno stesso vettore in entrata nello stesso vettore in uscita,
??? Che significa sta cosa?
Manca un sempre, giusto 
"- manda uno stesso vettore in entrata sempre nello stesso vettore in uscita"
Così è più chiaro?
"- manda uno stesso vettore in entrata sempre nello stesso vettore in uscita"
Così è più chiaro?
Veramente non si capisce cosa vuoi dire...
Vuol dire che se io applico la macchina allo stesso vettore, in momenti diversi (diciamo così), continua a comportarsi in maniera uguale. È la cosa più banale del mondo, detto in altre parole, non si comporta a random ma in maniera prefissata.
Se non è chiaro nemmeno così, non saprei come spiegarlo altrimenti
Se non è chiaro nemmeno così, non saprei come spiegarlo altrimenti
Non è per nulla chiaro. Credo che la spiegazione che hai dato di applicazione lineare sia fuorviante.
Un'applicazione lineare è un'applicazione (o funzione) $f$ tra i $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ che gode delle seguenti proprietà:
Un'applicazione lineare è un'applicazione (o funzione) $f$ tra i $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ che gode delle seguenti proprietà:
- [*:3hejgz8x] $f(v + w) = f(v) + f(w)$ , $\forall v, w \in V$[/*:m:3hejgz8x]
[*:3hejgz8x] $f(lambda v) = lambda f(v)$ , $\forall lambda \in K , \forall v \in V$.[/*:m:3hejgz8x][/list:u:3hejgz8x]
Invito quindi falsaperla a scrivere la definizione che conosce di funzione.
Una funzione è una corrispondenza tra gli elementi di un insieme di partenza (dominio) in un insieme d' arrivo (codominio). Grazie ai vostri esempi ora è un po' più chiaro. Vediamo se ho capito: ho un'applicazione lineare da R^2 a R^3, cioè vuol dire che considerato un vettore di R^2 ad esso sarà associato uno ed un solo vettore di R^3, che chiamiamo immagine del vettore di R^2 che avevamo preso in considerazione. Inoltre, per la proprietà f(v+w)=f(v)+f(w) , ∀v,w∈V se considero un vettore del dominio, nel codominio potrò vedere lo stesso vettore come somma di altri due. Fin qui ci siamo o cè ancora qualcosa che non va?
"Seneca":
Non è per nulla chiaro. Credo che la spiegazione che hai dato di applicazione lineare sia fuorviante.
Un'applicazione lineare è un'applicazione (o funzione) $f$ tra i $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ che gode delle seguenti proprietà:
[*:3aipuhxz] $f(v + w) = f(v) + f(w)$ , $\forall v, w \in V$[/*:m:3aipuhxz]
[*:3aipuhxz] $f(lambda v) = lambda f(v)$ , $\forall lambda \in K , \forall v \in V$.[/*:m:3aipuhxz][/list:u:3aipuhxz]
Se una persona non riesce a capire una cosa scritta in una certa maniera, riscrivergliela in maniera uguale trovo sia molto poco utile, magari sbaglio io..
"falsaperla":
Una funzione è una corrispondenza tra gli elementi di un insieme di partenza (dominio) in un insieme d' arrivo (codominio). Grazie ai vostri esempi ora è un po' più chiaro. Vediamo se ho capito: ho un'applicazione lineare da R^2 a R^3, cioè vuol dire che considerato un vettore di R^2 ad esso sarà associato uno ed un solo vettore di R^3, che chiamiamo immagine del vettore di R^2 che avevamo preso in considerazione. Inoltre, per la proprietà f(v+w)=f(v)+f(w) , ∀v,w∈V se considero un vettore del dominio, nel codominio potrò vedere lo stesso vettore come somma di altri due. Fin qui ci siamo o cè ancora qualcosa che non va?
Fin qui è giusto!
Bhe concluderei dicendo che le proprietà degli spazi vettoriali (chiusura rispetto alla somma tra vettori e prodotto per uno scalare) si applicano nelle applicazioni lineari (scusate il gioco di parole) semplicemente pensando che sommando due vettori del dominio l applicazione me ne restituirà uno nel codominio, e allo stesso tempo moltiplicando un vettore del dominio per uno scalare, l'applicazione mi restituirà un vettore nel codominio. Ditemi se è così o manca ancora qualcosa di importante da sottilineare! E grazie per l aiuto raga
Secondo me non ti devi arrovelare troppo. La linearità è una proprietà che una applicazione ha o non ha. Quando ne incontrerai una potrai verificarlo facendo capo semplicemente alla definizione. Ci sono applicazioni che sono lineari e applicazioni che non lo sono.
Posso chiederti di farmi un esempio e dimostrarmi che un applicazione sia lineare? ad esempio se ho f:R^5 in R^3 così definita: f(x1,x2,x3,x4,x5) = (x1-x4, x2-x4, x3) puoi scrivermi i passaggi con cui dimostri che è lineare?e, se non ti chiedo troppo, puoi farmi vedere come trovare nucleo, immagine e una loro base?
Guarda la definizione data da Seneca in alto e seguila alla lettera. Scivi due vettori generici
\[
v=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \\
v'=(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})
\]
Verifica la prima proprietà:
\(1.\) Somma \(v\) con \(v'\) e poi applica \(f\) a \(v+v'\).
\(2.\) Applica \(f\) prima a \(v\) poi a \(v'\) e somma \(f(v),f(v')\).
\(3.\) Verifica che i punti precedenti diano lo stesso risultato.
\[
v=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \\
v'=(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})
\]
Verifica la prima proprietà:
\(1.\) Somma \(v\) con \(v'\) e poi applica \(f\) a \(v+v'\).
\(2.\) Applica \(f\) prima a \(v\) poi a \(v'\) e somma \(f(v),f(v')\).
\(3.\) Verifica che i punti precedenti diano lo stesso risultato.
$ f(v+v') = f ( (x0,x1,x2,x3,x4) + (y0,y1,y2,y3,y4) ) = $
$ = f (x0+y0, x1+y1, x2+y2, x3+y3, x4+y4) = $
$ =( (x0+y0) - (x3+y3), (x1+y1) - (x3+y3), (x2+y2) ) $
è giusto?
$ = f (x0+y0, x1+y1, x2+y2, x3+y3, x4+y4) = $
$ =( (x0+y0) - (x3+y3), (x1+y1) - (x3+y3), (x2+y2) ) $
è giusto?
"Maci86":
Se una persona non riesce a capire una cosa scritta in una certa maniera, riscrivergliela in maniera uguale trovo sia molto poco utile, magari sbaglio io..
Il punto è - e scusa il gioco di parole - che non era affatto chiaro che quella definizione le (gli?) fosse chiara.
Quindi prima di tutto si parte dalla definizione, ché è una cosa imprescindibile; in seconda battuta si propone un esempio, per mettere il luce l'importanza (il senso?) della definizione.
Fermo restando questo, quello che hai scritto di un'applicazione lineare mi sembra incomprensibile.
"falsaperla":
$ f(v+v') = f ( (x0,x1,x2,x3,x4) + (y0,y1,y2,y3,y4) ) = $
$ = f (x0+y0, x1+y1, x2+y2, x3+y3, x4+y4) = $
$ =( (x0+y0) - (x3+y3), (x1+y1) - (x3+y3), (x2+y2) ) $
è giusto?
Corretto. Ora devi calcolare $f(v) + f(v')$ e controllare se coincide con $( (x_0+y_0) - (x_3+y_3), (x_1+y_1) - (x_3+y_3), (x_2+y_2) ) $ .
Allora, $ f(v) + f (v') = $
$ = ( (x_0 - x_3), (x_1 - x_3), (x_2) ) + ( (y_0 - y_3), (y_1 - y_3), (y_2) )= $
$ = ( (x_0 + y_0) - (x_3 + y_3), (x_1 + y_1) - (x_3 + y_3), (x_2 + y_2) ) $
L'uguaglianza è verificata è si tratta quindi di un'applicazione lineare Grazie mille a tutti ora mi è tutto mooooolto più chiaro !
$ = ( (x_0 - x_3), (x_1 - x_3), (x_2) ) + ( (y_0 - y_3), (y_1 - y_3), (y_2) )= $
$ = ( (x_0 + y_0) - (x_3 + y_3), (x_1 + y_1) - (x_3 + y_3), (x_2 + y_2) ) $
L'uguaglianza è verificata è si tratta quindi di un'applicazione lineare
Grazie mille a tutti ora mi è tutto mooooolto più chiaro !
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