Trovare base di Jordan

[borador]

Ciao a tutti ragazzi,
mi sono bloccato su questo esercizio, potreste dirmi dov'è l'errore?
Ho la matrice
A=$( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )$
di polinomio caratteristico $p(t)=(1-t)^4$ con autovalore 1 di molteplicità geometrica 2.
Chiamiamo w1 e w2 i due autovettori relativi a 1.
Devo trovare una base di Jordan.
La forma è semplice da trovare, in quanto l'unica ambiguità sull'ordine dei blocchi viene risolta dall'indice di nilpotenza di
$(A-I)$ che è 3, quindi ci sono due blocchi di Jordan uno 3x3 e uno 1x1.
J=$( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )$

Per trovare una base di Jordan $B=(v1,v2,v3,v4)$ io di solito procedo così: visto che conosco la forma, so che $v1$ e $v2$ sono proprio autovettori relativi a $1$, quindi prendo $v1=w1$ e $v2=w2$.
Per $v3$ e $v4$ ragiono così: la forma mi dice che
$Av3=v2+v3$ da cui ricavo $(A-I)v3=v2$.
Il problema è che questo sistema non ha soluzione!

Potete aiutarmi? Grazie mille!

[Maci86]

$A=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )$
Troviamo il polinomio caratteristico:
$det(X-A)=| ( x-1 , 0 , 0 , -1 ),( -1 , x-1 , 0 , -1 ),( -1 , 0 ,x- 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , x-1 ) |=(x-1)^4$
Ora non ci resta che vedere come si comporta:
$A-1=( ( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
$(A-1)^2=( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
$(A-1)^3=( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
Per prima cosa trovi un vettore che non sia nel $ker((A-1)^2)$ ma faccia parte del $ker((A-1)^3)$, nel nostro caso abbiamo solo $e_4$ e lo applichiamo a $(A-1)$ e poi a $(A-1)^2$:
$e_4 rightarrow e_1 + e_2 + e_3 rightarrow e_2 + e_3$
Ora dobbiamo trovare un vettore indipendente dai 3 precedenti che appartenga al $ker((A-1))$ per esempio:
$e_2$
Avremo quindi:
$J:(( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )$
$P:(( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) )$
Per fare i pignoli verifichiamo se funziona:
$PJ:(( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) )(( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )=(( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) )$
$AP:( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )(( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) )=(( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) )$
Funziona!

[borador]

Grazie!