Studio Conica in coordinate omogenee

[makkoma]

Salve avrei un problema con lo studio di questa conica !
vorrei avere una linea guida per capire come procedere nello svogimento dell esercizio.potreste aiutarmi ?

Si consideri (per ogni d $in$ $RR$)la conica reale (in coordinate omogenee)

$dx_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+2x_2x_3+x_3^2=0$

Si classifichi la conica al variare del parametro reale d.

[Maci86]

Quale coordinate usi per il piano affine reale?
Comunque si vede bene questo:
$ (d-1)x_1^2 + (x_1 +x_2)^2 + (x_1 +x_3)^2=0$
Abbiamo 3 casi:
i) $d=1$
$(x_1 +x_2)^2 + (x_1 +x_3)^2=0$
Conica con un solo punto reale.
ii) $d<1->-alpha=d-1<0$
$-alphax_1^2 +(x_1 +x_2)^2 + (x_1 +x_3)^2=0 Rightarrow (x_1 +x_2)^2 + (x_1 +x_3)^2=alphax_1^2$
Se $x_1$ è fattore omogeneizzante:
$(1 +x_2)^2 + (1 +x_3)^2=alpha$
Che è un'ellisse.
Se $x_2$ è fattore omogeneizzante:
$(x_1 +1)^2 + (x_1 +x_3)^2=alphax_1^2$
Che è un'ellisse per $01$ .
Similmente per $x_3$.
iii) $d>1->alpha=d-1>0$
$alphax_1^2 +(x_1 +x_2)^2 + (x_1 +x_3)^2=0 Rightarrow (x_1 +x_2)^2 + (x_1 +x_3)^2=-alphax_1^2$
Qui abbiamo che la somma di due quadrati da un valore minore di zero, si tratta quindi di una conica senza punti reali.