Invarianti tensoriali
Limitiamoci a tensori cartesiani.
E' noto che scelta una base ortonormale, un tensore del second'ordine è rappresentato da una matrice i cui autovalori sono invarianti per cambio di base, cioè se scelgo un'altra base ruotata rigidamente rispetto alla prima la matrice che rappresenta lo stesso tensore rispetto alla seconda base sarà in generale diversa dalla prima, ma i suoi autovalori rimangono invariati. Ovviamente anche ogni funzione degli autovalori è invariante.
1 - ci sono altri invarianti oltre alle funzioni degli autovalori?
2 - i tensori cartesiani di ordine superiore al secondo sono oggetti astratti che se scelta una base ortonormale posso essere rappresentati da oggetti a più indici, tanti quanti è l'ordine del tensore, quindi in pratica una collezione di numeri indicizzati. Anche per questi oggetti credo esistono invarianti per cambio di base, quali sono? Come si calcolano?
E' noto che scelta una base ortonormale, un tensore del second'ordine è rappresentato da una matrice i cui autovalori sono invarianti per cambio di base, cioè se scelgo un'altra base ruotata rigidamente rispetto alla prima la matrice che rappresenta lo stesso tensore rispetto alla seconda base sarà in generale diversa dalla prima, ma i suoi autovalori rimangono invariati. Ovviamente anche ogni funzione degli autovalori è invariante.
1 - ci sono altri invarianti oltre alle funzioni degli autovalori?
2 - i tensori cartesiani di ordine superiore al secondo sono oggetti astratti che se scelta una base ortonormale posso essere rappresentati da oggetti a più indici, tanti quanti è l'ordine del tensore, quindi in pratica una collezione di numeri indicizzati. Anche per questi oggetti credo esistono invarianti per cambio di base, quali sono? Come si calcolano?
Risposte
up
Sono domande molto interessanti alle quali non so affatto rispondere, ma butto lì un paio di idee.
Per la 1 CREDO la risposta sia affermativa, perché se parliamo di tensori doppi in generale stiamo parlando di tutte le matrici possibili, e queste hanno altri invarianti oltre agli autovalori. La risposta definitiva credo sia data dalla forma canonica di Jordan. Invece se parliamo solo di tensori simmetrici allora il teorema spettrale ci dice che ciascuno di essi è completamente individuato dai suoi autovalori a meno di un cambiamento di base ortonormale. E quindi anche ogni invariante deve essere individuato dagli autovalori, ovvero ogni invariante è funzione degli autovalori.
Per la 2 la questione è più complicata, chiaramente. Qualcuno si sarà sicuramente occupato di queste cose in passato.
Per la 1 CREDO la risposta sia affermativa, perché se parliamo di tensori doppi in generale stiamo parlando di tutte le matrici possibili, e queste hanno altri invarianti oltre agli autovalori. La risposta definitiva credo sia data dalla forma canonica di Jordan. Invece se parliamo solo di tensori simmetrici allora il teorema spettrale ci dice che ciascuno di essi è completamente individuato dai suoi autovalori a meno di un cambiamento di base ortonormale. E quindi anche ogni invariante deve essere individuato dagli autovalori, ovvero ogni invariante è funzione degli autovalori.
Per la 2 la questione è più complicata, chiaramente. Qualcuno si sarà sicuramente occupato di queste cose in passato.
grazie, più che altro era una mia curiosità
Jordan non ha molte più informazioni degli autovalori. Diciamo che ha solo degli "zero" e degli "uni" in più. Le informazioni in più sono sostanzialmente il numero e le dimensioni dei miniblocchi associati ad ogni autovalore. Non so come queste informazioni si possano tradurre in un ulteriore invariante indipendente dagli autovalori.
Jordan non ha molte più informazioni degli autovalori. Diciamo che ha solo degli "zero" e degli "uni" in più. Le informazioni in più sono sostanzialmente il numero e le dimensioni dei miniblocchi associati ad ogni autovalore. Non so come queste informazioni si possano tradurre in un ulteriore invariante indipendente dagli autovalori.
Il numero di blocchi e le dimensioni dei blocchi sono tutti invarianti, e non sono autovalori. La matrice
\[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
ha solo l'autovalore $0$, ma questo non è l'unico invariante. Se così fosse, sarebbe la matrice nulla.
\[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
ha solo l'autovalore $0$, ma questo non è l'unico invariante. Se così fosse, sarebbe la matrice nulla.
ok, chiaro, ma una generica funzione della matrice di Jordan associata ad una matrice $A$ data, a "naso" mi sembra che sia sempre esprimibile in termini di funzioni degli autovalori di $A$, o no?
No. Vedi esempio precedente. Nota che gli autovalori sono tutti nulli: se fosse come tu dici, la matrice dovrebbe essere indistinguibile dalla matrice nulla.
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