Domande su omomorfismi e rette
Ciao a tutti, volevo un vostro parere su questo esercizio:
Sia $h:RR^3 to RR^4$ un omomorfismo. Stabilire con opportune dimostrazioni se:
a) l'immagine di h può essere una retta che non passa per l'origine
b) l'immagine di h può essere una retta che passa per l'origine
c) l'immagine di h può essere una circonferenza di raggio r>0
d) l'immagine di h può essere contenuta in una circonferenza di raggio r>0
e) il nucleo di h può essere un piano qualsiasi.
Le mie risposte sono state:
a) No, perchè una retta che non passa per l'origine non appartiene all'immagine di h.
b) Sì, una retta può essere rappresentata da una o più equazioni.
c) No, perchè non sarebbe un'applicazione lineare.
d) No, l'immagine rappresentata tramite rette può intersecare la circonferenza, ma non può essere contenuta in quanto queste rette hanno lunghezza infinita.
e) Il nucleo può essere un piano che comprende solamente i vettori la cui immagine è (0,0,0,0).
Premetto che conosco le definizioni di omomorfismo, immagine e nucleo, ma a lezione non abbiamo mai affrontato l'aspetto geometrico, quindi non sono minimamente sicura delle mie risposte.
Grazie
Sia $h:RR^3 to RR^4$ un omomorfismo. Stabilire con opportune dimostrazioni se:
a) l'immagine di h può essere una retta che non passa per l'origine
b) l'immagine di h può essere una retta che passa per l'origine
c) l'immagine di h può essere una circonferenza di raggio r>0
d) l'immagine di h può essere contenuta in una circonferenza di raggio r>0
e) il nucleo di h può essere un piano qualsiasi.
Le mie risposte sono state:
a) No, perchè una retta che non passa per l'origine non appartiene all'immagine di h.
b) Sì, una retta può essere rappresentata da una o più equazioni.
c) No, perchè non sarebbe un'applicazione lineare.
d) No, l'immagine rappresentata tramite rette può intersecare la circonferenza, ma non può essere contenuta in quanto queste rette hanno lunghezza infinita.
e) Il nucleo può essere un piano che comprende solamente i vettori la cui immagine è (0,0,0,0).
Premetto che conosco le definizioni di omomorfismo, immagine e nucleo, ma a lezione non abbiamo mai affrontato l'aspetto geometrico, quindi non sono minimamente sicura delle mie risposte.
Grazie
Risposte
Nessuno che può aiutarmi? 
Sapendo che i sottospazi vettoriali di $RR^2$ sono $0$, $RR^2$ e le rette che passano per l'origine, ho supposto che qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale è rappresentabile tramite una retta passante per l'origine, ma appunto le mie sono solo supposizioni, purtroppo non so altro, in particolare non so se la stessa cosa vale per $RR^n, n>2$. Ho provato a cercare del materiale a riguardo, ma non sono riuscita a trovare nulla che possa rispondere alle domande...
Sapendo che i sottospazi vettoriali di $RR^2$ sono $0$, $RR^2$ e le rette che passano per l'origine, ho supposto che qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale è rappresentabile tramite una retta passante per l'origine, ma appunto le mie sono solo supposizioni, purtroppo non so altro, in particolare non so se la stessa cosa vale per $RR^n, n>2$. Ho provato a cercare del materiale a riguardo, ma non sono riuscita a trovare nulla che possa rispondere alle domande...
Il punto d) credo voglia essere un trabocchetto: la risposta è Sì.
Se prendiamo l'omomorfismo nullo (cioè $h(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0,0)$)
abbiamo che l'immagine è solo un punto (cioè l'origine).
Bene, un punto è sempre contenuto in una circonferenza.
I punti a), b),c),e) mi sembrano corretti.
Se prendiamo l'omomorfismo nullo (cioè $h(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0,0)$)
abbiamo che l'immagine è solo un punto (cioè l'origine).
Bene, un punto è sempre contenuto in una circonferenza.
I punti a), b),c),e) mi sembrano corretti.
Non ci avevo proprio pensato, grazie mille!
Vorrei ancora approfittare di questo post per chiedere dei chiarimenti sulle rette.
So che affinchè V sia uno spazio vettoriale è necessario che l'identità 0 appartenga a V, così come tutti gli opposti degli elementi di V. Ma da cosa lo deduco? E il fatto che 0 deve appartenere ad uno spazio vettoriale è la spiegazione per cui gli elementi di V sono rappresentati da rette che passano per l'origine?
Vorrei ancora approfittare di questo post per chiedere dei chiarimenti sulle rette.
So che affinchè V sia uno spazio vettoriale è necessario che l'identità 0 appartenga a V, così come tutti gli opposti degli elementi di V. Ma da cosa lo deduco? E il fatto che 0 deve appartenere ad uno spazio vettoriale è la spiegazione per cui gli elementi di V sono rappresentati da rette che passano per l'origine?
e) Direi che può essere un piano qualsiasi se, per qualsiasi, si intende che esiste un omomorfismo da $RR^3$ a $RR^4$ tale che quel piano faccia parte del nucleo.
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